Questão 8. Determine o valor de \operatorname{tg} x em função de a, b, c e d, dada a equação trigonométrica:
a \operatorname{sen}^{2} x+b \operatorname{sen} x \cos x+c \cos ^{2} x=d

Passo 1

O enunciado dá a equação
a\operatorname{sen}^{2}x+b\operatorname{sen}x\cos x+c\cos^{2}x=d
com a,b,c,d constantes conhecidas, e pede: determinar \operatorname{tg}x em função de a,b,c,d.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é o valor de \operatorname{tg}x.
  • Os parâmetros a,b,c,d são dados (constantes).
  • A equação envolve \operatorname{sen}x e \cos x ao quadrado e em produto.
  • Atenção: dividir por \cos^{2}x exige considerar separadamente o caso \cos x=0.

Passo 2

Transformação usando \operatorname{tg} e \operatorname{sec}. Primeiro vou transformar a equação em algo que envolva \operatorname{tg}x. Parto da equação original:
a\operatorname{sen}^{2}x+b\operatorname{sen}x\cos x+c\cos^{2}x=d.
Se \cos x\neq 0, eu posso dividir os dois lados por \cos^{2}x. Lembre que
\operatorname{tg}x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}, \qquad \operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}=1+\operatorname{tg}^{2}x.
Dividindo por \cos^{2}x obtenho:
a\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}+b\frac{\operatorname{sen}x\cos x}{\cos^{2}x}+c=d\frac{1}{\cos^{2}x}.
Simplificando com as identidades acima:
a\operatorname{tg}^{2}x+b\operatorname{tg}x+c=d\operatorname{sec}^{2}x.
Agora substituo \operatorname{sec}^{2}x=1+\operatorname{tg}^{2}x:
a\operatorname{tg}^{2}x+b\operatorname{tg}x+c=d\bigl(1+\operatorname{tg}^{2}x\bigr).

Passo 3

Redução a uma equação quadrática em \operatorname{tg}x. Desenvolvo o lado direito e isolo tudo para a esquerda:
a\operatorname{tg}^{2}x+b\operatorname{tg}x+c=d + d\operatorname{tg}^{2}x.
Passando todos os termos para um lado:
(a-d)\operatorname{tg}^{2}x + b\operatorname{tg}x + (c-d)=0.
Então \operatorname{tg}x satisfaz uma equação quadrática com coeficientes que dependem de a,b,c,d.

Passo 4

Caso geral: a\neq d. Quando a-d\neq 0 temos uma quadrática normal na variável t=\operatorname{tg}x:
(a-d)t^{2}+b t+(c-d)=0.
Aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta=b^{2}-4(a-d)(c-d).
Logo as soluções possíveis são
t=\operatorname{tg}x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2(a-d)}.
Observações úteis para a prova: se quiser soluções reais para \operatorname{tg}x (números reais), é necessário \Delta\ge 0. Se \Delta<0 as soluções são complexas (fora do escopo de muitas provas que pedem apenas reais).

Passo 5

Caso especial: a=d. Se a-d=0 a quadrática perde o termo de segundo grau e a equação fica linear. Substituindo a=d em (a-d)\operatorname{tg}^{2}x+b\operatorname{tg}x+(c-d)=0 obtemos
b\operatorname{tg}x+(c-d)=0.
Dessa equação linear, há subcasos:
  • Se b\neq 0, então
\operatorname{tg}x=\frac{d-c}{b}.
  • Se b=0 também, a equação reduz a
c-d=0.
– Se c=d também (isto é, a=d,\;b=0,\;c=d), então a equação original se transforma em
d\operatorname{sen}^{2}x + 0 + d\cos^{2}x = d(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)=d,
que é verdadeira para todo x. Nesse caso a igualdade é identicamente verdadeira e não existe um único valor de \operatorname{tg}x: qualquer \operatorname{tg}x (quando definida) satisfaz a equação — portanto não há uma expressão única para \operatorname{tg}x.
– Se b=0 e c\neq d, então a igualdade força
(c-d)\cos^{2}x=0
(o cálculo direto: com a=d e b=0, reescrevendo a equação original resulta nisso), portanto é necessário \cos^{2}x=0, isto é \cos x=0. Nessas soluções \operatorname{tg}x é indefinida (tende a infinito), logo não há solução finita para \operatorname{tg}x.

Passo 6

Resumo das considerações sobre divisão por \cos^{2}x:
  • Todas as manipulações que levam à quadrática pressupõem \cos x\neq 0. Se \cos x=0 deve-se testar esse caso na equação original: com \cos x=0 tem-se \operatorname{sen}^{2}x=1 e a equação original vale se, e somente se, a=d. Esse fato já foi contemplado nos casos especiais acima.

Passo 7

Vamos organizar as soluções finais de forma prática (o que escrever na prova):
  • Se a\neq d, então
\operatorname{tg}x=\frac{-b\pm\sqrt{\,b^{2}-4(a-d)(c-d)\,}}{2(a-d)}.
  • Se a=d e b\neq 0, então
\operatorname{tg}x=\frac{d-c}{b}.
  • Se a=d, b=0 e c=d, a equação é identidade (verdadeira para todo x): não há um único valor de \operatorname{tg}x (qualquer valor satisfaz, quando \operatorname{tg}x está definida).
  • Se a=d, b=0 e c\neq d, então as únicas soluções da equação têm \cos x=0 (portanto \operatorname{tg}x é indefinida); não existe valor finito de \operatorname{tg}x.

Resposta

\displaystyle \text{Se }a\neq d:\quad \operatorname{tg}x=\frac{-b\pm\sqrt{\,b^{2}-4(a-d)(c-d)\,}}{2(a-d)}.\n
\displaystyle \text{Se }a=d\text{ e }b\neq0:\quad \operatorname{tg}x=\frac{d-c}{b}.\n
\displaystyle \text{Se }a=d,\;b=0,\;c=d:\quad\text{equação verdadeira para todo }x\\ (\operatorname{tg}x\\ \text{indeterminado}).çã\n
\displaystyle \text{Se }a=d,\;b=0,\;c\neq d:\quad\text{somente }\cos x=0\\ (\operatorname{tg}x\\ \text{indefinido, sem valor finito}).

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