Questão 8. Determine o valor de
em função de
e
, dada a equação trigonométrica:
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
constantes conhecidas, e pede: determinar
em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é o valor de
. - Os parâmetros
são dados (constantes). - A equação envolve
e ao quadrado e em produto. - Atenção: dividir por
exige considerar separadamente o caso .
Passo 2
Transformação usando
e
. Primeiro vou transformar a equação em algo que envolva
. Parto da equação original:
Se
, eu posso dividir os dois lados por
. Lembre que
Dividindo por
obtenho:
Simplificando com as identidades acima:
Agora substituo
:
Passo 3
Redução a uma equação quadrática em
. Desenvolvo o lado direito e isolo tudo para a esquerda:
Passando todos os termos para um lado:
Então
satisfaz uma equação quadrática com coeficientes que dependem de
.
Passo 4
Caso geral:
. Quando
temos uma quadrática normal na variável
:
Aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Logo as soluções possíveis são
Observações úteis para a prova: se quiser soluções reais para
(números reais), é necessário
. Se
as soluções são complexas (fora do escopo de muitas provas que pedem apenas reais).
Passo 5
Caso especial:
. Se
a quadrática perde o termo de segundo grau e a equação fica linear. Substituindo
em
obtemos
Dessa equação linear, há subcasos:
- Se
, então
- Se
também, a equação reduz a
– Se
também (isto é,
), então a equação original se transforma em
que é verdadeira para todo
. Nesse caso a igualdade é identicamente verdadeira e não existe um único valor de
: qualquer
(quando definida) satisfaz a equação — portanto não há uma expressão única para
.
– Se
e
, então a igualdade força
(o cálculo direto: com
e
, reescrevendo a equação original resulta nisso), portanto é necessário
, isto é
. Nessas soluções
é indefinida (tende a infinito), logo não há solução finita para
.
Passo 6
Resumo das considerações sobre divisão por
:
- Todas as manipulações que levam à quadrática pressupõem
. Se deve-se testar esse caso na equação original: com tem-se e a equação original vale se, e somente se, . Esse fato já foi contemplado nos casos especiais acima.
Passo 7
Vamos organizar as soluções finais de forma prática (o que escrever na prova):
- Se
, então
- Se
e , então
-
Se
, e , a equação é identidade (verdadeira para todo ): não há um único valor de (qualquer valor satisfaz, quando está definida). -
Se
, e , então as únicas soluções da equação têm (portanto é indefinida); não existe valor finito de .