(2,0 pontos) Um cilindro isolante muito longo de raio R e uma densidade de cargas dada por:
rho=rho0(a r-r^2b)
onde mathrma, b e rho0 são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico externas ( r>R ).

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede e o que a gente vai usar:
– Enunciado resumido: temos um cilindro isolante muito longo de raio R, com densidade de carga variável
rho(r)=rho0l(a,r-r^2br),
e queremos encontrar o campo elétrico fora do cilindro, ou seja para r>R.
– Conteúdo: lei de Gauss para distribuições contínuas de carga.
– O que precisamos:
  1. Escolher uma superfície gaussiana (um cilindro coaxial de raio r>R).
  2. Calcular a carga total “presa” dentro dessa superfície, integrando rho no volume até R.
  3. Aplicar a lei de Gauss oint vec Ecdot dvec A = Qrm intvarepsilon0 e isolar vec E.

Passo 2

Por simetria o campo elétrico fora do cilindro é radial e só depende de r. Então a escolha natural é um cilindro gaussiano de raio r (com r>R) e comprimento L. Nesse caso:
vec E é perpendicular às faces laterais e constante em módulo.
– Não entra fluxo pelas bases (campo é paralelo a elas).

Passo 3

Escrevendo a lei de Gauss para o nosso cilindro gaussiano:
PhiE ;=;oint vec Ecdot dvec A ;=; E(r),l(área lateralr) ;=;E(r),(2pi r L) ;=;Qrm intvarepsilon0 á

Passo 4

Agora calculamos a carga interna Qrm int até o raio R.
A densidade rho(r') varia com r', e o elemento de volume é
dV = l(circunferênciar)times(espessura)times(comprimento) =2pi r',dr',L ê
Logo
Qrm int =integral0^Rrho(r'),dV =integral0^Rrho0l(a,r'-r'^2br),2pi r',L,dr'
Vamos fazer a integral em duas partes:
  1. integral0^Ra,r'cdot r',dr' = aintegral0^R r'^2dr' = a,R^33
  2. integral0^Rr'^2b,r',dr' = 1bintegral0^R r'^3dr' = R^44b
    Então
Qrm int =2pi L,rho0l(tfraca,R^33-tfracR^44br)

Passo 5

Voltando à lei de Gauss:
E(r),(2pi r L) =Qrm intvarepsilon0 =2pi L,rho0varepsilon0l(tfraca,R^33-tfracR^44br)
Isolando E(r):
E(r) =12pi r L,2pi L,rho0varepsilon0l(tfraca,R^33-tfracR^44br) =rho0varepsilon0,rl(tfraca,R^33-tfracR^44br)

Resposta

Para r>R, o campo elétrico é radial e tem módulo
boxedE(r) =rho0varepsilon0,r,l(a,R^33-R^44br), na direção hat r çã

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