(2,0 pontos) Um cilindro isolante muito longo de raio
e uma densidade de cargas dada por:
onde
e
são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico externas (
).
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede e o que a gente vai usar:
– Enunciado resumido: temos um cilindro isolante muito longo de raio , com densidade de carga variável
– Enunciado resumido: temos um cilindro isolante muito longo de raio
e queremos encontrar o campo elétrico fora do cilindro, ou seja para
.
– Conteúdo: lei de Gauss para distribuições contínuas de carga.
– O que precisamos:
– Conteúdo: lei de Gauss para distribuições contínuas de carga.
– O que precisamos:
- Escolher uma superfície gaussiana (um cilindro coaxial de raio
). - Calcular a carga total “presa” dentro dessa superfície, integrando
no volume até . - Aplicar a lei de Gauss
e isolar .
Passo 2
Por simetria o campo elétrico fora do cilindro é radial e só depende de
. Então a escolha natural é um cilindro gaussiano de raio
(com
) e comprimento
. Nesse caso:
– é perpendicular às faces laterais e constante em módulo.
– Não entra fluxo pelas bases (campo é paralelo a elas).
–
– Não entra fluxo pelas bases (campo é paralelo a elas).
Passo 3
Escrevendo a lei de Gauss para o nosso cilindro gaussiano:
Passo 4
Agora calculamos a carga interna
até o raio
.
A densidade varia com
, e o elemento de volume é
A densidade
Logo
Vamos fazer a integral em duas partes:
-
-
Então
Passo 5
Voltando à lei de Gauss:
Isolando
:
Resposta
Para
, o campo elétrico é radial e tem módulo