(2,0 pontos) Um cilindro isolante muito longo de raio
e uma densidade de cargas dada por:
onde
e
são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico em regiões internas (
)
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Temos um cilindro isolante muito longo de raio
, com densidade volumétrica de carga
A meta é usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico
dentro do cilindro, isto é, para
.
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática, simetria cilíndrica e cálculo de integral de densidade de carga.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender e aplicar a Lei de Gauss.
- Escolher uma superfície gaussiana cilíndrica.
- Calcular a carga total encapsulada por essa superfície.
- Resolver para
.
Passo 2
Primeiro, não esquece: pela simetria cilíndrica, o campo
só depende de
e é radial,
. A Lei de Gauss diz:
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro de raio
(com
) e comprimento
.
Nesse caso a integral de superfície vira
Nesse caso a integral de superfície vira
porque só a “lateral” contribui (as tampas têm
).
Passo 3
Agora precisamos do
, ou seja, a carga dentro do raio
. A gente integra
sobre o volume cilíndrico de raio
:
Puxa pra fora as constantes:
Integramos termo a termo:
-
, -
.
Então
Passo 4
Volta pra Lei de Gauss:
Agora isolamos
:
Esse
é positivo e radial, ou seja,
apontando pra fora.