(2,0 pontos) Um cilindro isolante muito longo de raio R e uma densidade de cargas dada por:
rho=rho0(a r-r^2b)
onde mathrma, b e rho0 são constantes positivas e r é a distância ao eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para determinar o capo elétrico em regiões internas ( r<R )

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos um cilindro isolante muito longo de raio R, com densidade volumétrica de carga
rho(r)=rho0l(a,r-r^2br),, a,b,rho0>0,
A meta é usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico E dentro do cilindro, isto é, para r<R.
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática, simetria cilíndrica e cálculo de integral de densidade de carga.
O que vamos precisar:
  • Entender e aplicar a Lei de Gauss.
  • Escolher uma superfície gaussiana cilíndrica.
  • Calcular a carga total encapsulada por essa superfície.
  • Resolver para E(r).

Passo 2

Primeiro, não esquece: pela simetria cilíndrica, o campo E só depende de r e é radial, E=E(r),r. A Lei de Gauss diz:
ointrm gauss Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0,
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro de raio r (com r<R) e comprimento L.
Nesse caso a integral de superfície vira
oint Ecdot dA=E(r),l(2pi r Lr),,
porque só a “lateral” contribui (as tampas têm Eperp dA).

Passo 3

Agora precisamos do Qrm int, ou seja, a carga dentro do raio r. A gente integra rho(r') sobre o volume cilíndrico de raio r:
Qrm int=integral0^rrho(r'),dV=integral0^rrho0l(a,r'-r'^2br)l(2pi r' L,dr'r),
Puxa pra fora as constantes:
Qrm int=2pi L,rho0integral0^rl(a,r'^2-tfracr'^3br)dr',
Integramos termo a termo:
  • integral0^ra,r'^2dr' = a,r^33,
  • integral0^rr'^3bdr' = r^44b.
    Então
Qrm int=2pi L,rho0l(a,r^33-r^44br),

Passo 4

Volta pra Lei de Gauss:
E(r),(2pi r L)=Qrm intvarepsilon0 =1varepsilon0;2pi L,rho0l(a,r^33-r^44br),
Agora isolamos E(r):
E(r)=12pi r L,2pi L,rho0varepsilon0l(a,r^33-r^44br) =rho0varepsilon0l(a,r^23-r^34br),
Esse E(r) é positivo e radial, ou seja, E(r)=E(r),hat r apontando pra fora.

Resposta

boxed E(r)=hat r;rho0varepsilon0l(a,r^23-r^34br)(r<R),

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