Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
6 x\left(x^{2}+\operatorname{cotg} x^{2}\right)^{2}\left(1-\operatorname{cosec}^{2} x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(x^{2} + \operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)^{3}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma potência externa e uma função interna que envolve x e \operatorname{cotg}.

Passo 2

Identificamos a função externa H(u)=u^{3} e a interna u(x)=x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2}). Pela regra da cadeia,
f'(x)=H'(u(x))\cdot u'(x)
e sabemos que
H'(u)=3\,u^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x)=x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2}). Temos duas parcelas:
  1. A derivada de x^{2} é 2x.
  2. A derivada de \operatorname{cotg}(v) com v=x^{2} é -\operatorname{cosec}^{2}(v)\cdot v'. Como v'=2x,
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr] =-\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\cdot 2x.
Assim
u'(x)=2x - 2x\,\operatorname{cosec}^{2}(x^{2}) =2x\bigl(1-\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\bigr).

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) =3\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)^{2}\;\times\;2x\bigl(1-\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\bigr).
Multiplicando os fatores numéricos, 3\cdot2=6, obtemos
f'(x) =6\,x\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)^{2}\bigl(1-\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\bigr).

Resposta

f'(x)=6\,x\bigl(x^{2}+\operatorname{cotg}(x^{2})\bigr)^{2}\bigl(1-\operatorname{cosec}^{2}(x^{2})\bigr).

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