Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
\operatorname{sec} ^{2} x \operatorname{sec} (\operatorname{tg} x) \operatorname{tg}(\operatorname{tg} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \operatorname{sec}^2 x \,\operatorname{sec}(\tan x)\,\tan(\tan x).
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto para três fatores e da regra da cadeia para as funções \operatorname{sec} e \tan.

Passo 2

Seja
u(x) = \operatorname{sec}^2 x,\quad v(x) = \operatorname{sec}(\tan x),\quad w(x) = \tan(\tan x).
Pela regra do produto para três fatores,
y' = u'\,v\,w \;+\; u\,v'\,w \;+\; u\,v\,w'.

Passo 3

Calculando u':
u(x)=\operatorname{sec}^2 x \quad\implies\quad u'(x)=2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x) =2\operatorname{sec}^2 x\tan x.

Passo 4

Calculando v' por regra da cadeia:
v(x)=\operatorname{sec}(\tan x) \quad\implies\quad v'(x)=\operatorname{sec}(\tan x)\,\tan(\tan x)\,\frac{d}{dx}(\tan x) =\operatorname{sec}(\tan x)\,\tan(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Calculando w' por regra da cadeia:
w(x)=\tan(\tan x) \quad\implies\quad w'(x)=\operatorname{sec}^2(\tan x)\,\frac{d}{dx}(\tan x) =\operatorname{sec}^2(\tan x)\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Substituindo u', v' e w' em
y' = u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'
obtém-se
y' = 2\operatorname{sec}^2 x\tan x\;\operatorname{sec}(\tan x)\tan(\tan x) + \operatorname{sec}^2 x\;\bigl[\operatorname{sec}(\tan x)\tan(\tan x)\operatorname{sec}^2 x\bigr] + \operatorname{sec}^2 x\operatorname{sec}(\tan x)\;\bigl[\operatorname{sec}^2(\tan x)\operatorname{sec}^2 x\bigr].

Passo 7

Fatorando \operatorname{sec}^2 x\,\operatorname{sec}(\tan x) em comum,
y' = \operatorname{sec}^2 x\,\operatorname{sec}(\tan x)\Bigl[ 2\,\tan x\,\tan(\tan x) + \operatorname{sec}^2 x\,\tan(\tan x) + \operatorname{sec}^2 x\,\operatorname{sec}^2(\tan x) \Bigr].

Resposta

y' = \operatorname{sec}^2 x\,\operatorname{sec}(\tan x)\Bigl[ 2\,\tan x\,\tan(\tan x) + \operatorname{sec}^2 x\,\tan(\tan x) + \operatorname{sec}^2 x\,\operatorname{sec}^2(\tan x) \Bigr].

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