Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
2 x\left[\operatorname{tg} 2 x+x \operatorname{sec} ^{2} 2 x\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 2\,x\bigl[\tan(2x) + x\,\operatorname{sec}^2(2x)\bigr].
O conteúdo envolvido é regra do produto e regra da cadeia para funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
g(x) = \tan(2x) + x\,\operatorname{sec}^2(2x),
de modo que
f(x) = 2x\,g(x).
Aplicaremos a regra do produto:
f'(x) = 2\,g(x) + 2x\,g'(x).

Passo 3

Vamos encontrar g'(x). Escrevendo g(x)=\tan(2x) + x\,\operatorname{sec}^2(2x), temos duas parcelas:
  1. Derivada de \tan(2x) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl[\tan(2x)\bigr] = \operatorname{sec}^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) = 2\,\operatorname{sec}^2(2x).
  1. Derivada de x\,\operatorname{sec}^2(2x) pela regra do produto:
  • Derivada de x é 1, multiplicada por \operatorname{sec}^2(2x) \operatorname{sec}^2(2x).
  • Mais x vezes a derivada de \operatorname{sec}^2(2x). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}^2(2x)\bigr] = 2\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) = 4\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).
Somando as partes,
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\operatorname{sec}^2(2x)\bigr] = \operatorname{sec}^2(2x) + x\cdot4\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).
Logo,
g'(x) = 2\,\operatorname{sec}^2(2x) + \operatorname{sec}^2(2x) + 4x\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x) = 3\,\operatorname{sec}^2(2x) + 4x\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).

Passo 4

Agora voltamos a
f'(x) = 2\,g(x) + 2x\,g'(x).
Substituindo g(x) e g'(x),
f'(x) = 2\bigl[\tan(2x) + x\,\operatorname{sec}^2(2x)\bigr] + 2x\bigl[3\,\operatorname{sec}^2(2x) + 4x\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\bigr].

Passo 5

Expandindo e juntando termos semelhantes:
\begin{aligned} f'(x) &= 2\tan(2x) + 2x\,\operatorname{sec}^2(2x) + 6x\,\operatorname{sec}^2(2x) + 8x^2\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x)\\\ &= 2\tan(2x) + 8x\,\operatorname{sec}^2(2x) + 8x^2\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x). \end{aligned}

Resposta

f'(x) = 2\tan(2x) + 8x\,\operatorname{sec}^2(2x) + 8x^2\,\operatorname{sec}^2(2x)\tan(2x).

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