Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
4 \operatorname{sec} 4 x \operatorname{tg} 4 x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4\operatorname{sec}(4x)\tan(4x).
O conteúdo aqui é derivação de produto e funções compostas (chain rule). Vamos usar que
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u', \quad \frac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u)\,u'.

Passo 2

Extraímos o fator constante 4:
f'(x)=4\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(4x)\tan(4x)\bigr].

Passo 3

Aplicando a regra do produto em \operatorname{sec}(4x)\tan(4x):
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(4x)\tan(4x)] =(\operatorname{sec}(4x))'\,\tan(4x)+\operatorname{sec}(4x)\,(\tan(4x))'
e pelas fórmulas de chain rule:
(\operatorname{sec}(4x))'=4\operatorname{sec}(4x)\tan(4x), \quad (\tan(4x))'=4\operatorname{sec}^2(4x).
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\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(4x)\tan(4x)] =4\operatorname{sec}(4x)\tan(4x)\,\tan(4x)+\operatorname{sec}(4x)\,(4\operatorname{sec}^2(4x)) =4\operatorname{sec}(4x)\bigl[\tan^2(4x)+\operatorname{sec}^2(4x)\bigr].
Multiplicando pelo 4 externo, temos
f'(x)=16\operatorname{sec}(4x)\bigl[\tan^2(4x)+\operatorname{sec}^2(4x)\bigr].

Resposta

f'(x)=16\operatorname{sec}(4x)\bigl[\tan^2(4x)+\operatorname{sec}^2(4x)\bigr].

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