Exercício 9. Derive as seguintes funções
f(x)=cos (2 x)^2sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=cos^2(2x)sin(x)
O conteúdo envolve derivação de quociente e derivadas de funções trigonométricas, usando a regra do quociente
gl(uvgr)'=u',v-u,v'v^2
e a regra da cadeia para derivar cos^2(2x).

Passo 2

Defina
u(x)=cos^2(2x), v(x)=sin(x)
Pela regra do quociente,
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)v(x)^2

Passo 3

Calcule u'(x). Como u(x)=l(cos(2x)r)^2, aplicamos a cadeia em duas etapas:
  1. derivada de wmapsto w^2 em w=cos(2x) 2cos(2x);
  2. derivada interna de cos(2x) é -sin(2x)cdot2.
    Logo,
u'(x) =2cos(2x),l[-2sin(2x)r] =-4,cos(2x),sin(2x)

Passo 4

Calcule v'(x). Como v(x)=sin(x), temos
v'(x)=cos(x)

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
f'(x) =l[-4cos(2x)sin(2x)r]sin(x);-;cos^2(2x),cos(x) sin^2(x)

Passo 6

Podemos usar a identidade sin(4x)=2sin(2x)cos(2x) para simplificar o primeiro termo do numerador:
-4cos(2x)sin(2x)sin(x) =-2sin(4x),sin(x)
Assim, uma forma simplificada é
f'(x) =-2sin(4x),sin(x);-;cos^2(2x),cos(x) sin^2(x)

Resposta

f'(x) =-4cos(2x)sin(2x),sin(x);-;cos^2(2x),cos(x) sin^2(x) ;=; -2sin(4x),sin(x);-;cos^2(2x),cos(x) sin^2(x)

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