Exercício 8 (Desafio) - Bisseção em múltiplas raízes
O polinômio
possui cinco raízes reais.
(a) Fatore
e determine as raízes exatas.
(b) Aplique a bisseção a cada raiz não inteira
, partindo de intervalos de comprimento 1 .
(c) Compare o número de iterações necessário para cada raiz. Há algum padrão?
(a) Fatore
(b) Aplique a bisseção a cada raiz não inteira
(c) Compare o número de iterações necessário para cada raiz. Há algum padrão?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e afirma que ele possui cinco raízes reais. As perguntas são:
(a) Fatorar e determinar as raízes exatas.
(b) Aplicar o método da bisseção a cada raiz não inteira com , partindo de intervalos de comprimento
.
(c) Comparar o número de iterações necessário para cada raiz e verificar se há algum padrão.
(a) Fatorar
(b) Aplicar o método da bisseção a cada raiz não inteira com
(c) Comparar o número de iterações necessário para cada raiz e verificar se há algum padrão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O polinômio é de grau
. - A tolerância pedida para a bisseção é
. - Os intervalos iniciais para cada aplicação da bisseção têm comprimento
(ou seja, se usados). - Precisa-se identificar quais raízes são inteiras ou não, porque a bisseção só deve ser aplicada às raízes não inteiras conforme o enunciado.
Passo 2
Primeiro passo para fatorar: procurar raízes racionais/inteiras óbvias (teorema das raízes racionais e teste direto).
- Observação direta:
. Logo é uma raiz. Isso significa que é fator de . - Pelo teorema das raízes racionais, candidatos racionais são divisores do termo independente dividido pelo coeficiente líder. Aqui o termo independente é
(já vimos ), e os divisores aparentes dos coeficientes sugerem testar . Vamos testar valores inteiros pequenos.
Calculemos
diretamente (sempre escrevendo em TeX):
Portanto
também são raízes. Já encontramos cinco raízes (contando
), o que é consistente com grau
.
Passo 3
Agora organizar a fatoração usando divisões sintéticas sucessivas (vou apresentar de forma compacta e explicativa).
Começamos escrevendo
com
Dividindo
por
(já que
é raiz), faz-se divisão sintética:
coeficientes de :
.
coeficientes de
- Ao dividir por
obtemos quóciente com coeficientes e resto .
Dividindo este quóciente por
(pois
é raiz):
- coeficientes
divididos por dão quóciente e resto .
Dividindo por
(pois
é raiz):
- coeficientes
divididos por dão quóciente e resto .
O quóciente final
corresponde a
. Portanto
Multiplicando de volta o fator
, obtemos a fatoração completa
Passo 4
Conclusão da fatoração e das raízes exatas:
- Fatoração:
. - Raízes exatas:
.
Todas as cinco raízes são reais e todas são inteiras e simples (cada fator linear aparece com multiplicidade).
Vou agora explicar a parte prática sobre o método da bisseção (para responder (b) e (c)) de forma didática, pois é provável que você precise lembrar isso na prova.
Como funciona a bisseção (aula rápida, passo a passo):
- Requisito inicial: a bisseção precisa de um intervalo
tal que (ou seja, tem sinais opostos nas extremidades) — isso garante, por Bolzano, a existência de uma raiz ímpar de multiplicidade ímpar dentro do intervalo. - A cada iteração se calcula
. Se acabou; senão escolhe-se o subintervalo ou onde ocorre mudança de sinal e repete-se. - O comprimento do intervalo depois de
iterações é . Então, para garantir erro de aproximação menor que (no sentido de que o tamanho do intervalo é ), basta escolher tal que
Isolando
:
Como
deve ser inteiro, o número mínimo de iterações garantidas é
Isso é uma fórmula prática muito utilizada para estimar o número de iterações da bisseção.
Observações importantes (para prova e entendimento):
- Se a raiz for de multiplicidade par (por exemplo a função toca o eixo
sem mudar de sinal), então não há mudança de sinal em nenhum intervalo pequeno contendo a raiz, e a bisseção clássica baseada em mudança de sinal falha. Nesse caso são necessários outros métodos ou adaptações. - Se a raiz for simples (multiplicidade
), então a função muda de sinal e a bisseção funciona bem. - A fórmula acima dá o número de iterações necessário para reduzir o intervalo inicial
a comprimento . Não garante que seja exatamente zero em algum passo, mas garante aproximação do ponto raiz dentro de em abscissa.
Passo 5
Aplicando isso ao problema (parte (b)):
- O enunciado pede aplicar a bisseção às raízes não inteiras. Do resultado da fatoração temos as raízes
, todas inteiras. - Portanto não há nenhuma raiz não inteira à qual aplicar a bisseção conforme pedido. Logo a aplicação pedida em (b) é vazia: não há raízes não inteiras.
Para dar informação adicional útil e responder (c) de forma completa, examinemos o caso hipotético pedido (se por exemplo existisse alguma raiz não inteira e usássemos um intervalo de comprimento
). Usando a fórmula da bisseção com
e
:
Sabendo que
,
Portanto
Isto significa que, para qualquer raiz em que se consiga escolher um intervalo inicial de comprimento
com mudança de sinal nas extremidades, a bisseção levaria exatamente
iterações para reduzir o intervalo até comprimento
(garantido pelo critério do comprimento do intervalo).
Passo 6
Interpretação e comparação (parte (c)):
- No nosso caso real: não há raízes não inteiras, então não se aplica a bisseção pedida.
- Hipoteticamente, se tivesse-se aplicado a bisseção a qualquer raiz (simples) a partir de um intervalo de comprimento
, todas exigiriam o mesmo número de iterações para atingir . O padrão é, portanto, que o número de iterações depende apenas da razão ; se essa razão for igual para diferentes raízes (por exemplo todos com e mesmo ), então o número de iterações será o mesmo. - Lembrete importante: se alguma raiz fosse de multiplicidade par (não mudou de sinal), a bisseção simples não seria aplicável porque não se poderia encontrar um intervalo com
contendo a raiz. Aqui isso não ocorre porque todas as raízes são simples.
Resposta
(a)
. As raízes exatas são
.\n
(b) Não há raízes não inteiras; portanto não se aplica a bisseção conforme pedido.\n
(c) Hipoteticamente, para qualquer raiz simples com intervalo inicial de comprimento e
o número mínimo de iterações da bisseção é
. O padrão: todas as raízes teriam o mesmo número de iterações nesse cenário.
(b) Não há raízes não inteiras; portanto não se aplica a bisseção conforme pedido.\n
(c) Hipoteticamente, para qualquer raiz simples com intervalo inicial de comprimento