Exercício 8 (Desafio) - Bisseção em múltiplas raízes

O polinômio p(x)=x^{5}-5 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}-6 x possui cinco raízes reais.
(a) Fatore p(x) e determine as raízes exatas.
(b) Aplique a bisseção a cada raiz não inteira \operatorname{com} \varepsilon=10^{-6}, partindo de intervalos de comprimento 1 .
(c) Compare o número de iterações necessário para cada raiz. Há algum padrão?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,p(x)=x^{5}-5x^{4}+5x^{3}+5x^{2}-6x e afirma que ele possui cinco raízes reais. As perguntas são:
(a) Fatorar p(x) e determinar as raízes exatas.
(b) Aplicar o método da bisseção a cada raiz não inteira com \varepsilon=10^{-6}, partindo de intervalos de comprimento 1.
(c) Comparar o número de iterações necessário para cada raiz e verificar se há algum padrão.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio é de grau 5.
  • A tolerância pedida para a bisseção é \varepsilon=10^{-6}.
  • Os intervalos iniciais para cada aplicação da bisseção têm comprimento 1 (ou seja, b-a=1 se usados).
  • Precisa-se identificar quais raízes são inteiras ou não, porque a bisseção só deve ser aplicada às raízes não inteiras conforme o enunciado.

Passo 2

Primeiro passo para fatorar: procurar raízes racionais/inteiras óbvias (teorema das raízes racionais e teste direto).
  • Observação direta: \,p(0)=0. Logo \,x=0 é uma raiz. Isso significa que x é fator de p(x).
  • Pelo teorema das raízes racionais, candidatos racionais são divisores do termo independente dividido pelo coeficiente líder. Aqui o termo independente é 0 (já vimos x=0), e os divisores aparentes dos coeficientes sugerem testar \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Vamos testar valores inteiros pequenos.
Calculemos p(1),p(2),p(3),p(-1) diretamente (sempre escrevendo em TeX):
p(1)=1-5+5+5-6=0,
p(2)=32-80+40+20-12=0,
p(3)=243-405+135+45-18=0,
p(-1)=-1-5-5+5+6=0.
Portanto x=1,\,2,\,3,\, -1 também são raízes. Já encontramos cinco raízes (contando x=0), o que é consistente com grau 5.

Passo 3

Agora organizar a fatoração usando divisões sintéticas sucessivas (vou apresentar de forma compacta e explicativa).
Começamos escrevendo p(x)=x\cdot q(x) com
q(x)=x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6.
Dividindo q(x) por (x-1) (já que x=1 é raiz), faz-se divisão sintética:
coeficientes de q: 1,\,-5,\,5,\,5,\,-6.
  • Ao dividir por 1 obtemos quóciente com coeficientes 1,\,-4,\,1,\,6 e resto 0.
Dividindo este quóciente por (x-2) (pois x=2 é raiz):
  • coeficientes 1,\,-4,\,1,\,6 divididos por 2 dão quóciente 1,\,-2,\,-3 e resto 0.
Dividindo por (x-3) (pois x=3 é raiz):
  • coeficientes 1,\,-2,\,-3 divididos por 3 dão quóciente 1,\,1 e resto 0.
O quóciente final 1,\,1 corresponde a x+1. Portanto
q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+1).
Multiplicando de volta o fator x, obtemos a fatoração completa
p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x+1).

Passo 4

Conclusão da fatoração e das raízes exatas:
  • Fatoração: \,p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x+1).
  • Raízes exatas: \,x=0,\;x=1,\;x=2,\;x=3,\;x=-1.
    Todas as cinco raízes são reais e todas são inteiras e simples (cada fator linear aparece com multiplicidade 1).
Vou agora explicar a parte prática sobre o método da bisseção (para responder (b) e (c)) de forma didática, pois é provável que você precise lembrar isso na prova.
Como funciona a bisseção (aula rápida, passo a passo):
  1. Requisito inicial: a bisseção precisa de um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0 (ou seja, f tem sinais opostos nas extremidades) — isso garante, por Bolzano, a existência de uma raiz ímpar de multiplicidade ímpar dentro do intervalo.
  2. A cada iteração se calcula m=(a+b)/2. Se f(m)=0 acabou; senão escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde ocorre mudança de sinal e repete-se.
  3. O comprimento do intervalo depois de n iterações é (b-a)/2^{n}. Então, para garantir erro de aproximação menor que \varepsilon (no sentido de que o tamanho do intervalo é \le\varepsilon), basta escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n}}\le\varepsilon.
Isolando n:
2^{n}\ge\frac{b-a}{\varepsilon}\quad\Rightarrow\quad n\ge\log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right).
Como n deve ser inteiro, o número mínimo de iterações garantidas é
n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
Isso é uma fórmula prática muito utilizada para estimar o número de iterações da bisseção.
Observações importantes (para prova e entendimento):
  • Se a raiz for de multiplicidade par (por exemplo a função toca o eixo x sem mudar de sinal), então não há mudança de sinal em nenhum intervalo pequeno contendo a raiz, e a bisseção clássica baseada em mudança de sinal falha. Nesse caso são necessários outros métodos ou adaptações.
  • Se a raiz for simples (multiplicidade 1), então a função muda de sinal e a bisseção funciona bem.
  • A fórmula acima dá o número de iterações necessário para reduzir o intervalo inicial [a,b] a comprimento \le\varepsilon. Não garante que f(m) seja exatamente zero em algum passo, mas garante aproximação do ponto raiz dentro de \varepsilon em abscissa.

Passo 5

Aplicando isso ao problema (parte (b)):
  • O enunciado pede aplicar a bisseção às raízes não inteiras. Do resultado da fatoração temos as raízes \,x=0,1,2,3,-1, todas inteiras.
  • Portanto não há nenhuma raiz não inteira à qual aplicar a bisseção conforme pedido. Logo a aplicação pedida em (b) é vazia: não há raízes não inteiras.
Para dar informação adicional útil e responder (c) de forma completa, examinemos o caso hipotético pedido (se por exemplo existisse alguma raiz não inteira e usássemos um intervalo de comprimento 1). Usando a fórmula da bisseção com b-a=1 e \varepsilon=10^{-6}:
n=\left\lceil \log_{2}\!\left(\frac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil =\left\lceil \log_{2}\!\left(10^{6}\right)\right\rceil =\left\lceil 6\log_{2}(10)\right\rceil.
Sabendo que \log_{2}(10)\approx3,321928\ldots,
6\log_{2}(10)\approx 6\times 3{,}321928\ldots \approx 19{,}931568\ldots
Portanto
n=\lceil 19{,}931568\ldots\rceil = 20.
Isto significa que, para qualquer raiz em que se consiga escolher um intervalo inicial de comprimento 1 com mudança de sinal nas extremidades, a bisseção levaria exatamente 20 iterações para reduzir o intervalo até comprimento \le 10^{-6} (garantido pelo critério do comprimento do intervalo).

Passo 6

Interpretação e comparação (parte (c)):
  • No nosso caso real: não há raízes não inteiras, então não se aplica a bisseção pedida.
  • Hipoteticamente, se tivesse-se aplicado a bisseção a qualquer raiz (simples) a partir de um intervalo de comprimento 1, todas exigiriam o mesmo número de iterações n=20 para atingir \varepsilon=10^{-6}. O padrão é, portanto, que o número de iterações depende apenas da razão (b-a)/\varepsilon; se essa razão for igual para diferentes raízes (por exemplo todos com b-a=1 e mesmo \varepsilon), então o número de iterações será o mesmo.
  • Lembrete importante: se alguma raiz fosse de multiplicidade par (não mudou de sinal), a bisseção simples não seria aplicável porque não se poderia encontrar um intervalo com f(a)f(b)<0 contendo a raiz. Aqui isso não ocorre porque todas as raízes são simples.

Resposta

(a) p(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x+1). As raízes exatas são x=0,\;x=1,\;x=2,\;x=3,\;x=-1.\n
(b) Não há raízes não inteiras; portanto não se aplica a bisseção conforme pedido.\n
(c) Hipoteticamente, para qualquer raiz simples com intervalo inicial de comprimento 1 e \varepsilon=10^{-6} o número mínimo de iterações da bisseção é 20. O padrão: todas as raízes teriam o mesmo número de iterações nesse cenário.

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