Exercício 9 - Primeiras iterações
Aplique o Método da Posição Falsa a
no intervalo
.
(a) Execute as duas primeiras iterações manualmente, mostrando o cálculo da fórmula da secante em cada passo.
(b) Identifique qual extremo do intervalo permaneceu fixo. Explique geometricamente por que isso ocorre.
(c) Compare com as duas primeiras iterações da bisseção no mesmo intervalo: qual chute foi mais próximo da raiz?
(a) Execute as duas primeiras iterações manualmente, mostrando o cálculo da fórmula da secante em cada passo.
(b) Identifique qual extremo do intervalo permaneceu fixo. Explique geometricamente por que isso ocorre.
(c) Compare com as duas primeiras iterações da bisseção no mesmo intervalo: qual chute foi mais próximo da raiz?
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. Precisa-se:
- (a) Aplicar o Método da Posição Falsa e executar as duas primeiras iterações manualmente, mostrando o cálculo da fórmula da secante em cada passo.
- (b) Identificar qual extremo do intervalo permaneceu fixo e explicar geometricamente o porquê.
- (c) Comparar com as duas primeiras iterações do método da bisseção no mesmo intervalo e dizer qual chute ficou mais próximo da raiz.
Informações relevantes fornecidas (valores que usaremos):
- Extremos do intervalo:
e . - Vamos precisar dos valores
e , que calcularemos na próxima etapa.
Passo 2
Primeira tarefa prática: calcular
e
, para saber os sinais nos extremos.
A função é
.
Calculemos:
Sabendo
, temos
Agora:
Sabendo
, temos
Portanto os sinais são opostos:
e
, logo há raiz em
.
Passo 3
Explicar a fórmula usada no Método da Posição Falsa (regula falsi) e derivá-la rapidamente.
O método constrói a reta secante que passa por
e
e toma a interseção dessa reta com o eixo
como novo ponto aproximado da raiz. A equação da secante linear leva à fórmula
Outra forma, útil quando
é simples, é
Aqui
e
são os extremos atuais do intervalo e
é o ponto onde a secante corta o eixo
.
Explicação das variáveis (para ficar firme na prova):
-
e são os extremos do intervalo com e de sinais opostos. -
são os valores da função nesses extremos. -
é a abscissa do ponto onde a reta que une e cruza o eixo .
Passo 4
Primeira iteração do Método da Posição Falsa (usando
,
).
Usamos a fórmula
Substituindo os valores que calculamos:
Calculemos passo a passo os termos numéricos:
Portanto o numerador é
O denominador é
Logo
Agora avaliamos
para decidir qual extremo substituir:
Aproximação de : usamos uma aproximação linear a partir de
. Uma estimativa razoável é
. Assim
Aproximação de
Observamos
. Esse sinal é igual ao sinal de
(que era negativo). Portanto no esquema do método:
- O ponto
mantém sinal oposto a , então o extremo que permanece fixo é . - O extremo que se move é
, que passa a ser .
Resumo da 1ª iteração:
Intervalo atualizado para a próxima iteração:
.
Passo 5
Segunda iteração do Método da Posição Falsa (com
e
).
Agora
,
;
,
.
Aplicamos novamente
Calculemos os termos:
Numerador
.
Denominador
Denominador
Logo
Avaliação de
: aproximando
com base em
e derivada
, obtemos
. Então
Assim
ainda é negativo, muito próximo de zero.
Resumo da 2ª iteração:
Como
continua negativo, o extremo
permanece fixo; o novo intervalo é
.
Passo 6
Resposta à parte (b): identificar qual extremo do intervalo permaneceu fixo e explicar geometricamente por que isso ocorre.
Resultado prático observado: o extremo que permaneceu fixo foi
.
Explicação geométrica didática e simples:
- A posição falsa usa a reta secante entre
e . A interseção dessa reta com o eixo dá . - Para a função dada,
é crescente e convexo no intervalo (pode-se ver porque e ). Convexidade significa que o gráfico da função está “abaixo” da corda (reta secante) que une os extremos. - Assim, quando a secante corta o eixo
, o valor da própria função naquele fica abaixo do eixo (negativo), isto é, . Isso faz com que tenha o mesmo sinal que (que era negativo). Pelo critério do método (manter o extremo que tem sinal oposto), o extremo que permanece é o (o que tem ). - Em palavras mais soltas: por causa da curvatura da função (convexidade), a secante “passa por cima” da curva e corta o eixo
mais próximo do extremo esquerdo, produzindo um cujo tem o mesmo sinal do extremo esquerdo; assim o extremo direito fica fixo.
Passo 7
Agora comparamos com o método da bisseção: executamos as duas primeiras iterações da bisseção no mesmo intervalo
.
Bisseção — iteração 1:
- Ponto médio
- Avaliamos
. Sabendo ,
Sinal negativo; portanto o novo intervalo é
.
Bisseção — iteração 2:
- Ponto médio do novo intervalo:
- Avaliamos
. Usando ,
Então após a segunda bisseção sabemos que a raiz está em
.
Resumo das duas primeiras iterações da bisseção:
Passo 8
Comparação de qual chute (apos duas iterações) ficou mais próximo da raiz.
Primeiro, vamos estimar a raiz com mais precisão (usar um passo de Newton rápido a partir de
ou interpolação). Usando Newton em
:
Com
e
,
Portanto uma boa estimativa da raiz verdadeira é
Agora calculemos os erros das aproximações obtidas após duas iterações de cada método:
- Posição Falsa:
. Erro aproximado - Bisseção: os dois chutes foram
e . Erros: -
Conclusão: depois de duas iterações, o segundo chute da Posição Falsa (
) está bem mais próximo da raiz do que os chutes obtidos pela bisseção. Em particular,
é mais preciso que
(o primeiro ponto de bisseção) e muito mais preciso que
.
(Dica motivadora: isso ilustra por que a posição falsa tende a convergir mais rápido que a bisseção quando a função é bem comportada — ela usa a inclinação aproximada da função — mas pode prender-se a um extremo se a interseção produzir sempre um ponto com o mesmo sinal de um dos extremos.)
Resposta
(a) Iteração 1 (Posição Falsa):
, com
.
(a) Iteração 2 (Posição Falsa): , com
.
(a) Iteração 2 (Posição Falsa):
(b) O extremo que permaneceu fixo foi
.
(c) Após duas iterações, a Posição Falsa (
) ficou mais próxima da raiz (erro
) do que os chutes da bisseção (
com erro
, e
com erro
).