Exercício 7 - Número de iterações - análise a priori
Quantas iterações da bisseção são necessárias para garantir erro menor que
em cada caso?
Passo 1
O enunciado pede: quantas iterações do método da bisseção são necessárias para garantir erro menor que
para a função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo inicial é
. - A tolerância desejada (erro máximo permitido) é
.
Passo 2
Primeiro verificamos que o método da bisseção pode ser aplicado (temos mudança de sinal em
, assim garantimos existência de raiz pela Bolzano). Calculamos os valores nos extremos:
Como
e
, há uma raiz em
e a bisseção é aplicável.
Passo 3
Agora uma aula rápida e prática sobre o erro na bisseção (sem mistério, passo a passo):
- A cada iteração da bisseção o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade.
- Se o comprimento inicial é
, então após iterações o comprimento do intervalo é
- A aproximação usual dada pela bisseção é o ponto médio do intervalo atual. Esse ponto médio está, no máximo, a metade do comprimento do intervalo da raiz. Logo o erro em relação à raiz
satisfaz a desigualdade
onde
é a aproximação obtida após
iterações.
Explicando de forma bem direta: o intervalo que contém a raiz tem comprimento
; o centro desse intervalo fica a, no máximo, metade desse comprimento da raiz, daí o fator
extra.
Passo 4
Usamos a desigualdade do passo anterior para garantir o erro menor que
. Queremos
Substituindo
e
,
Aplicando logaritmo base
,
Usando
, obtemos numericamente
logo
Portanto, tomando o menor inteiro
que satisfaz a desigualdade, obtemos
Isto significa que, segundo esta contagem (onde o erro máximo é
),
iterações já bastariam para garantir erro menor que
.
Passo 5
Aviso importante sobre convenções (não se assuste, é só para a prova): alguns livros e professores usam a forma conservadora de estimar o número de iterações diretamente pela condição
(o que dá uma contagem um pouco maior). Essa convenção resulta em
portanto
. Essa resposta (
) é um pouco mais conservadora e é frequentemente exigida em exercícios que esperam arredondamento para cima direto de
.
Para evitar qualquer risco na prova (melhor pecar pelo excesso de iterações que garantir que o erro fique mesmo abaixo de
), é comum indicar a resposta conservadora
.
Passo 6
Resumo prático e dica de prova: se pedir estritamente pelo número mínimo com a desigualdade exata
, a resposta é
. Se o enunciado usar a forma mais comum e conservadora
(ou se quiser garantia sem discutir o fator
extra), tome
. Na dúvida, entregue
na prova — é seguro e mostra cuidado.
Resposta
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