Exercício 7 - Número de iterações - análise a priori
Quantas iterações da bisseção são necessárias para garantir erro menor que 10^{-8} em cada caso?
f(x)=\cos x-x, \quad[0,1]

Passo 1

O enunciado pede: quantas iterações do método da bisseção são necessárias para garantir erro menor que 10^{-8} para a função f(x)=\cos x - x no intervalo [0,1].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos x - x.
  • O intervalo inicial é [a,b]=[0,1].
  • A tolerância desejada (erro máximo permitido) é \varepsilon = 10^{-8}.

Passo 2

Primeiro verificamos que o método da bisseção pode ser aplicado (temos mudança de sinal em [0,1], assim garantimos existência de raiz pela Bolzano). Calculamos os valores nos extremos:
f(0)=\cos 0 - 0 = 1, \qquad f(1)=\cos 1 - 1 \approx 0,5403023 - 1 = -0,4596977.
Como f(0)>0 e f(1)<0, há uma raiz em [0,1] e a bisseção é aplicável.

Passo 3

Agora uma aula rápida e prática sobre o erro na bisseção (sem mistério, passo a passo):
  • A cada iteração da bisseção o comprimento do intervalo que contém a raiz é reduzido pela metade.
  • Se o comprimento inicial é L_0=b-a, então após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n = \frac{b-a}{2^{n}}.
  • A aproximação usual dada pela bisseção é o ponto médio do intervalo atual. Esse ponto médio está, no máximo, a metade do comprimento do intervalo da raiz. Logo o erro em relação à raiz r satisfaz a desigualdade
|c_n - r| \le \frac{L_n}{2} = \frac{b-a}{2^{n+1}},
onde c_n é a aproximação obtida após n iterações.
Explicando de forma bem direta: o intervalo que contém a raiz tem comprimento (b-a)/2^n; o centro desse intervalo fica a, no máximo, metade desse comprimento da raiz, daí o fator 1/2 extra.

Passo 4

Usamos a desigualdade do passo anterior para garantir o erro menor que \varepsilon. Queremos
\frac{b-a}{2^{n+1}} < \varepsilon.
Substituindo b-a=1 e \varepsilon=10^{-8},
\frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-8} \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1} > 10^{8}.
Aplicando logaritmo base 2,
n+1 > \log_2(10^{8}) = 8\log_2(10).
Usando \log_2(10)\approx 3,321928094887, obtemos numericamente
n+1 > 8\cdot 3,321928094887 \approx 26,5754247591,
logo
n > 25,5754247591.
Portanto, tomando o menor inteiro n que satisfaz a desigualdade, obtemos
n = 26.
Isto significa que, segundo esta contagem (onde o erro máximo é (b-a)/2^{n+1}), 26 iterações já bastariam para garantir erro menor que 10^{-8}.

Passo 5

Aviso importante sobre convenções (não se assuste, é só para a prova): alguns livros e professores usam a forma conservadora de estimar o número de iterações diretamente pela condição
\frac{b-a}{2^{n}} < \varepsilon,
(o que dá uma contagem um pouco maior). Essa convenção resulta em
n > \log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) = \log_2(10^{8}) \approx 26,5754,
portanto n=\lceil 26,5754\rceil = 27. Essa resposta ( 27) é um pouco mais conservadora e é frequentemente exigida em exercícios que esperam arredondamento para cima direto de \log_2((b-a)/\varepsilon).
Para evitar qualquer risco na prova (melhor pecar pelo excesso de iterações que garantir que o erro fique mesmo abaixo de \varepsilon), é comum indicar a resposta conservadora 27.

Passo 6

Resumo prático e dica de prova: se pedir estritamente pelo número mínimo com a desigualdade exata |c_n-r|\le (b-a)/2^{n+1}, a resposta é 26. Se o enunciado usar a forma mais comum e conservadora (b-a)/2^{n}<\varepsilon (ou se quiser garantia sem discutir o fator 1/2 extra), tome 27. Na dúvida, entregue 27 na prova — é seguro e mostra cuidado.

Resposta

27

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