Pelo Exercício 5, para descrever a posição do elétron no átomo de hidrogênio, precisamos resolver a equação de Laguerre
x y^prime prime(x)+(1-x) y^prime(x)+(nu+lambda) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências.
Supondo y(0)=6 e nu+lambda=3, determine y(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laguerre
x,y''(x)+(1-x),y'(x)+3,y(x)=0
com condição inicial y(0)=6. Vamos usar o método de séries de potências para obter uma solução do tipo
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k,
encontrar a recorrência para os coeficientes ak e usar y(0)=a0=6.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumk=0^inftyak,x^k, y'(x)=sumk=0^infty(k+1)ak+1,x^k, y''(x)=sumk=0^infty(k+1)(k+2)ak+2,x^k
Substituindo na equação
xsumk=0^infty(k+1)(k+2)ak+2x^k +(1-x)sumk=0^infty(k+1)ak+1x^k +3sumk=0^infty akx^k =0
e reorganizando as potências de x^m, obtemos a relação entre coeficientes.

Passo 3

Ao agrupar os termos para cada potência x^m surge a recorrência
(m+1)^2,am+1+(3-m),am=0,
ou seja
am+1=m-3(m+1)^2;am, m>=0
Para m=0 isso dá a1=(0-3)/1^2,a0=-3,a0.

Passo 4

Como nu+lambda=3 é inteiro, a série termina em grau 3 (fica um polinômio). Usando a0=y(0)=6 calculamos:
a1=-3,a0=-18, a2=1-32^2,a1=-24(-18)=9, a3=2-33^2,a2=-19cdot9=-1, a4=3-34^2,a3=0
Logo a solução é o polinômio de grau 3.

Passo 5

Escrevendo a soma truncada,
y(x)=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 =6 -18,x +9,x^2 -x^3

Resposta

y(x)=6 -18,x +9,x^2 -x^3

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