Pelo Exercício 5, para descrever a posição do elétron no átomo de hidrogênio, precisamos resolver a equação de Laguerre
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências.
Supondo
e
, determine
.
Supondo
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laguerre
com condição inicial
. Vamos usar o método de séries de potências para obter uma solução do tipo
encontrar a recorrência para os coeficientes
e usar
.
Passo 2
Assumimos
Substituindo na equação
e reorganizando as potências de
, obtemos a relação entre coeficientes.
Passo 3
Ao agrupar os termos para cada potência
surge a recorrência
ou seja
Para
isso dá
.
Passo 4
Como
é inteiro, a série termina em grau 3 (fica um polinômio). Usando
calculamos:
Logo a solução é o polinômio de grau 3.
Passo 5
Escrevendo a soma truncada,