1. Prove:

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar a equivalência, para todo xinR, entre
5x+3x^2+1>=5
e
5x+3>=5l(x^2+1r)
O conteúdo que vamos usar é a propriedade fundamental de desigualdades: ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número estritamente positivo, o sentido da desigualdade se preserva.

Passo 2

Verificamos que, para todo xinR,
x^2+1>0
Isto garante que 5x+3x^2+1 está bem definida e que podemos multiplicar ou dividir ambos os lados de qualquer desigualdade por x^2+1 sem inverter o sinal.

Passo 3

Partindo de
5x+3x^2+1>=5,
multiplicamos ambos os lados por x^2+1, que é positivo, e obtemos
5x+3>=5l(x^2+1r)
Este passo mostra “ Longrightarrow”.

Passo 4

Para a direção inversa, começamos com
5x+3>=5l(x^2+1r)
e dividimos ambos os lados por x^2+1>0. Isso nos leva de volta a
5x+3x^2+1>=5
Assim, mostramos “ Long<=ftarrow”.

Resposta

Concluímos que, porque x^2+1>0, as duas desigualdades são logicamente equivalentes:
5x+3x^2+1>=5 Long<=ftrightarrow 5x+3>=5l(x^2+1r)

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