- Prove:
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar a equivalência, para todo
, entre
e
O conteúdo que vamos usar é a propriedade fundamental de desigualdades: ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número estritamente positivo, o sentido da desigualdade se preserva.
Passo 2
Verificamos que, para todo
,
Isto garante que
está bem definida e que podemos multiplicar ou dividir ambos os lados de qualquer desigualdade por
sem inverter o sinal.
Passo 3
Partindo de
multiplicamos ambos os lados por
, que é positivo, e obtemos
Este passo mostra “
”.
Passo 4
Para a direção inversa, começamos com
e dividimos ambos os lados por
. Isso nos leva de volta a
Assim, mostramos “
”.
Resposta
Concluímos que, porque
, as duas desigualdades são logicamente equivalentes: