Exercício 4 Resolva as EDO’s
d yd t+12 cdot y=12 cdot e^t / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
dydt + 12,y = 12,e^t/3
O conteúdo principal é o método do fator integrante para EDOs lineares.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) definido por
mu(t) = expl(integral tfrac12,dtr) = e^t/2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^t/2, obtemos
e^t/2dydt + 12,e^t/2y = 12,e^t/2e^t/3
que reescreve-se como derivada de produto:
ddtl(y,e^t/2r) = tfrac12,e^t/2 + t/3 = tfrac12,e^5t/6

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^t/2 = integral tfrac12,e^5t/6,dt + C = tfrac12 cdot 65,e^5t/6 + C = 35,e^5t/6 + C

Passo 5

Isolando y, temos
y(t) = 35,e^5t/6 - t/2 + C,e^-t/2 = 35,e^t/3 + C,e^-t/2

Resposta

A solução geral é
y(t) = C,e^-t/2 + 35,e^t/3,
onde C é a constante arbitrária.

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