utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
sumk=1^infty 5^kk 4^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^infty5^kk,4^k
Isso é uma série de termos positivos. Vamos usar o Teste de Comparação com Limite, comparando com a série harmônica sum 1/k, que sabemos divergir.

Passo 2

Definimos
ak = 5^kk,4^k e bk = 1k
Como sum bk=sum1/k é a série harmônica, ela diverge.

Passo 3

Calculamos o limite
L = limktoinftyakbk = limktoinfty5^kk,4^k1k = limktoinfty5^k4^k = limktoinftyl(54r)^!k = +infty

Passo 4

Quando L = +infty, isso significa que, para k grande, ak é eventualmente maior que bk. Como sum bk diverge e ak>= bk a partir de algum k, a série sum ak também diverge por comparação.

Resposta

A série diverge.

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