Exercício 3 - Raízes de f(x)=4 x-e^{x}=0
Avaliando sinais: f(0)=-1, f(1) \approx 1,28, f(2) \approx 0,61, f(3) \approx-8,08. Raízes em (0,1) e (2,3).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=4x-e^{x} e fornece avaliações de sinal (peguei estes números do enunciado):
  • f(0)=-1
  • f(1)\approx1{,}28
  • f(2)\approx0{,}61
  • f(3)\approx-8{,}08
O que o problema pede (explicitando): encontrar as raízes reais de f(x)=0. A partir dos sinais dados, há troca de sinal em (0,1) e em (2,3), portanto existem pelo menos duas raízes, uma em cada intervalo.

Passo 2

Vou justificar rapidamente por que existe raiz em cada intervalo (isto é importante antes de começar a calcular): a função f é contínua (soma e produto de funções contínuas), e como f(0)<0 e f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1). Analogamente, porque f(2)>0 e f(3)<0, existe pelo menos uma raiz em (2,3). Ou seja, sabemos que há exatamente duas raízes reais (não há mais porque a equação será mostrada a seguir ter no máximo duas interseções com a reta y=4x).

Passo 3

Discussão de método e escolha: há várias formas de obter as raízes:
  • Podemos transformar a equação para usar a função especial de Lambert W e escrever soluções fechadas;
  • Podemos usar métodos numéricos (bisseção, Newton, secante). O método da bisseção é muito robusto e elementar; Newton é mais rápido (convergência quadrática) desde que a derivada não anule-se próximo à raiz. Vou apresentar as duas ideias (para clareza matemática) e, na prática, usar o método de Newton para obter as aproximações numéricas rápidas — explicarei passo a passo para que você consiga fazer na prova ou em casa.

Passo 4

Solução exata com Lambert W (ideia para entender a estrutura das raízes).
Partimos de
4x=e^{x}.
Multiplicando ambos os lados por e^{-x} obtemos
x e^{-x}=\tfrac{1}{4}.
Colocando y=-x resulta
y e^{y}=-\tfrac{1}{4}.
A solução de y e^{y}=z é y=W(z), onde W é a função de Lambert. Assim:
y=W\!\left(-\tfrac{1}{4}\right), \qquad x=-W\!\left(-\tfrac{1}{4}\right).
Como o argumento -\tfrac{1}{4} está em \bigl(-\tfrac{1}{e},0\bigr), a função W tem duas ramas reais: W_0 (principal) e W_{-1} (ramo inferior). Portanto as duas raízes reais são
x=-W_0\!\left(-\tfrac{1}{4}\right) \qquad\text{e}\qquad x=-W_{-1}\!\left(-\tfrac{1}{4}\right).
Isto explica por que existem exatamente duas raízes reais e onde elas estão (a associada a W_0 é a pequena em (0,1) e a associada a W_{-1} é a maior em (2,3)). Agora vamos para o cálculo numérico prático.

Passo 5

Apresentando o método de Newton (fórmula e justificativa didática).
  • Regra: para f(x)=0 com f diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Aqui f(x)=4x-e^{x}. A derivada é
f'(x)=4-e^{x}.
  • Significado: em cada iteração calcula-se o valor atual x_n, avalia-se f(x_n) (saber se é positivo/negativo e quantos), avalia-se f'(x_n) (a inclinação) e corrige-se x_n na direção indicada por -f/f'.
  • Critério de parada prático: pode-se usar |f(x_n)|<\varepsilon ou |x_{n+1}-x_n|<\delta. Vou usar um critério prático de convergência até que a correção seja pequena (ordem de 10^{-6} ou menor).

Passo 6

Aplicando Newton para a raiz em (0,1). Escolho x_0=0{,}5 (ponto médio do intervalo).
  • Iteração 0: x_0=0{,}5.
f(x_0)=4\cdot0{,}5-e^{0{,}5}=2-1{,}6487212707\approx0{,}3512787293.
f'(x_0)=4-e^{0{,}5}=4-1{,}6487212707\approx2{,}3512787293.
x_1=0{,}5-\frac{0{,}3512787293}{2{,}3512787293}\approx0{,}350556.
  • Iteração 1: x_1\approx0{,}350556.Calculo e^{x_1} com aproximação direta (soma de série ou tabela): e^{0{,}350556}\approx1{,}41986.
f(x_1)=4\cdot0{,}350556-e^{0{,}350556}\approx1{,}402224-1{,}41986\approx-0{,}017636.
f'(x_1)=4-e^{0{,}350556}\approx2{,}58014.
x_2=0{,}350556-\frac{-0{,}017636}{2{,}58014}\approx0{,}357392.
  • Iteração 2: x_2\approx0{,}357392.
e^{0{,}357392}\approx1{,}429566\quad(\text{aprox. por série})é
f(x_2)=4\cdot0{,}357392-e^{0{,}357392}\approx1{,}429568-1{,}429566\approx1{,}6\times10^{-6},
muito próximo de zero. A correção na próxima iteração seria ínfima, logo consideramos convergido. Assim uma boa aproximação para a raiz em (0,1) é
x\approx0{,}357392.

Passo 7

Aplicando Newton para a raiz em (2,3). Observando os sinais anteriores, escolho x_0=2{,}15 (um ponto próximo onde f é pequeno).
  • Iteração 0: x_0=2{,}15.
e^{2{,}15}\approx8{,}583856,\qquad f(x_0)=4\cdot2{,}15-e^{2{,}15}\approx8{,}6-8{,}583856\approx0{,}016144.
f'(x_0)=4-e^{2{,}15}\approx-4{,}583856.
x_1=2{,}15-\frac{0{,}016144}{-4{,}583856}\approx2{,}153523.
  • Iteração 1: x_1\approx2{,}153523.
e^{2{,}153523}\approx8{,}614156\quad(\text{aprox. via }e^{2{,}15}e^{0{,}003523})
f(x_1)=4\cdot2{,}153523-e^{2{,}153523}\approx8{,}614092-8{,}614156\approx-6{,}4\times10^{-5}.
f'(x_1)=4-e^{2{,}153523}\approx-4{,}614156.
x_2=2{,}153523-\frac{-6{,}4\times10^{-5}}{-4{,}614156}\approx2{,}153509.
  • Iteração 2: x_2\approx2{,}153509.O valor de f(x_2) já ficará da ordem de 10^{-10} 10^{-8} com mais uma iteração, portanto consideramos convergido. Assim a raiz em (2,3) é aproximadamente x\approx2{,}153509.

Passo 8

Checagem rápida e interpretação final:
  • Cada raiz foi obtida por Newton partindo de um chute inicial dentro do intervalo onde o enunciado afirmou haver mudança de sinal.
  • As aproximações são consistentes com a representação exata x=-W_k(-\tfrac{1}{4}) (duas ramas k=0,-1).
  • Se for preciso maior precisão na prova, basta continuar as iterações de Newton mais uma ou duas vezes; cada iteração quadruplicará o número de dígitos corretos aproximadamente (desde que não se aproxime de pontos onde f'(x)=0, o que não ocorre aqui).

Resposta

x\approx0{,}357392
x\approx2{,}153509

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