Exercício 3 - Raízes de
Avaliando sinais:
. Raízes em
e
.
Avaliando sinais:
Passo 1
O enunciado dá a função
e fornece avaliações de sinal (peguei estes números do enunciado):
O que o problema pede (explicitando): encontrar as raízes reais de
. A partir dos sinais dados, há troca de sinal em
e em
, portanto existem pelo menos duas raízes, uma em cada intervalo.
Passo 2
Vou justificar rapidamente por que existe raiz em cada intervalo (isto é importante antes de começar a calcular): a função
é contínua (soma e produto de funções contínuas), e como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Analogamente, porque
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Ou seja, sabemos que há exatamente duas raízes reais (não há mais porque a equação será mostrada a seguir ter no máximo duas interseções com a reta
).
Passo 3
Discussão de método e escolha: há várias formas de obter as raízes:
- Podemos transformar a equação para usar a função especial de Lambert
e escrever soluções fechadas; - Podemos usar métodos numéricos (bisseção, Newton, secante). O método da bisseção é muito robusto e elementar; Newton é mais rápido (convergência quadrática) desde que a derivada não anule-se próximo à raiz. Vou apresentar as duas ideias (para clareza matemática) e, na prática, usar o método de Newton para obter as aproximações numéricas rápidas — explicarei passo a passo para que você consiga fazer na prova ou em casa.
Passo 4
Solução exata com Lambert
(ideia para entender a estrutura das raízes).
Partimos de
Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Colocando
resulta
A solução de
é
, onde
é a função de Lambert. Assim:
Como o argumento
está em
, a função
tem duas ramas reais:
(principal) e
(ramo inferior). Portanto as duas raízes reais são
Isto explica por que existem exatamente duas raízes reais e onde elas estão (a associada a
é a pequena em
e a associada a
é a maior em
). Agora vamos para o cálculo numérico prático.
Passo 5
Apresentando o método de Newton (fórmula e justificativa didática).
- Regra: para
com diferenciável, a iteração de Newton é
- Aqui
. A derivada é
- Significado: em cada iteração calcula-se o valor atual
, avalia-se (saber se é positivo/negativo e quantos), avalia-se (a inclinação) e corrige-se na direção indicada por . - Critério de parada prático: pode-se usar
ou . Vou usar um critério prático de convergência até que a correção seja pequena (ordem de ou menor).
Passo 6
Aplicando Newton para a raiz em
. Escolho
(ponto médio do intervalo).
- Iteração 0:
- Iteração 1:
Calculo com aproximação direta (soma de série ou tabela):
- Iteração 2:
muito próximo de zero. A correção na próxima iteração seria ínfima, logo consideramos convergido. Assim uma boa aproximação para a raiz em
é
Passo 7
Aplicando Newton para a raiz em
. Observando os sinais anteriores, escolho
(um ponto próximo onde
é pequeno).
- Iteração 0:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
O valor de já ficará da ordem de – com mais uma iteração, portanto consideramos convergido. Assim a raiz em é aproximadamente
Passo 8
Checagem rápida e interpretação final:
- Cada raiz foi obtida por Newton partindo de um chute inicial dentro do intervalo onde o enunciado afirmou haver mudança de sinal.
- As aproximações são consistentes com a representação exata
(duas ramas ). - Se for preciso maior precisão na prova, basta continuar as iterações de Newton mais uma ou duas vezes; cada iteração quadruplicará o número de dígitos corretos aproximadamente (desde que não se aproxime de pontos onde
, o que não ocorre aqui).