Exercício 6.8.3. Determinar autovalores e bases dos auto-espaços para o operador em \mathbb{R}^{3} que possui a seguinte matriz representativa na base canônica M=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right). Analisar a diagonalizabilidade do operador, e no caso em que seja possível encontrar uma matriz inversível P tal que P^{-1} M P seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços do operador em \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Em seguida, devemos analisar se o operador é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz inversível P que realize a diagonalização P^{-1}MP=D. Para isso usaremos teoria de valor característico, polinômio característico, cálculo de autovetores e critérios de diagonalização.
Passo 2
Começamos calculando o polinômio característico de M. Definindo \lambda como parâmetro, temos
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3=\dim\mathbb{R}^3, o operador é diagonalizável. Se tomarmos como colunas de P os autovetores na ordem dos autovalores (2,-1,-1), podemos escolher