Exercício 6.8.3. Determinar autovalores e bases dos auto-espaços para o operador em \mathbb{R}^{3} que possui a seguinte matriz representativa na base canônica M=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right). Analisar a diagonalizabilidade do operador, e no caso em que seja possível encontrar uma matriz inversível P tal que P^{-1} M P seja diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços do operador em \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida, devemos analisar se o operador é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz inversível P que realize a diagonalização P^{-1}MP=D. Para isso usaremos teoria de valor característico, polinômio característico, cálculo de autovetores e critérios de diagonalização.

Passo 2

Começamos calculando o polinômio característico de M. Definindo \lambda como parâmetro, temos
\det(M - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo, obtemos
\det(M - \lambda I) = -\lambda\bigl((-\lambda)(-\lambda)-1\cdot1\bigr) -1\bigl(1\cdot(-\lambda)-1\cdot1\bigr) +1\bigl(1\cdot1-(-\lambda)\cdot1\bigr) = -\lambda^3 +3\lambda +2.
Portanto o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(M-\lambda I)= -\lambda^3 +3\lambda +2,
ou equivalentemente
\lambda^3 -3\lambda -2=0.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^3 -3\lambda -2=0.
Testando \lambda=2, vemos que
2^3 -3\cdot2 -2 =8 -6 -2 =0,
logo \lambda=2 é raiz. Fazendo divisão polinomial, obtemos
\lambda^3 -3\lambda -2 = (\lambda -2)(\lambda^2 +2\lambda +1) =(\lambda -2)(\lambda+1)^2.
Assim os autovalores são
\lambda_1 = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1),\qquad \lambda_2 = -1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Encontramos o autoespaço para \lambda=2 resolvendo (M-2I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Observando simetria, notamos que x=y=z satisfaz o sistema. Então um autovetor é (1,1,1) e a base do autoespaço é
E_{2} = \operatorname{span}\{(1,1,1)\}.

Passo 5

Para \lambda=-1 resolvemos (M+I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=0.
Esse é um plano de dimensão 2. Por exemplo, podemos escolher como base do autoespaço
E_{-1} = \operatorname{span}\{(1,-1,0),\,(1,0,-1)\}.

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+2=3=\dim\mathbb{R}^3, o operador é diagonalizável. Se tomarmos como colunas de P os autovetores na ordem dos autovalores (2,-1,-1), podemos escolher
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e a matriz diagonal correspondente é
D = P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e bases dos autoespaços:
\lambda=2 com
E_{2}=\span\{(1,1,1)\},
\lambda=-1 com
E_{-1}=\span\{(1,-1,0),\,(1,0,-1)\}.
O operador é diagonalizável. Uma escolha de P que diagonaliza M é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
tendo
P^{-1}MP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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