Exercício 6.8.1. Determinar autovalores e bases dos auto-espaços para os operadores em \mathbb{R}^{2} que possuem as seguintes matrizes representativas na base canônica
os autovalores (\lambda), uma base de cada autoespaço \ker(A_i - \lambda I) e, quando possível, uma base de \Bbb R^2 formada por autovetores para diagonalizar. Vamos usar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 em cada caso e resolver (A-\lambda I)x=0.
Passo 2
Para uma matriz 2\times2, o polinômio característico é
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\lambda^2-\bigl(\operatorname{tr}A\bigr)\,\lambda+\det A.
Se os dois autovalores forem reais e distintos, existe uma base de \Bbb R^2 de autovetores e A é diagonalizável.
1) A_1:
– Autovalores \lambda=1,3.
– Bases dos autoespaços: \{(1,0)\} para \lambda=1 e \{(1,2)\} para \lambda=3.
– Diagonalizável com \displaystyle P_1=[(1,0)\;(1,2)],\;D_1=\operatorname{diag}(1,3). 2) A_2:
– Autovalores \lambda=1,2.
– Bases dos autoespaços: \{(1,0)\} para \lambda=1 e \{(1,-1)\} para \lambda=2.
– Diagonalizável com \displaystyle P_2=[(1,0)\;(1,-1)],\;D_2=\operatorname{diag}(1,2). 3) A_3:
– Autovalores \lambda=\pm2i (não reais).
– Sem autovetores em \Bbb R^2; não diagonalizável sobre \Bbb R.
4) A_4:
– Autovalores \lambda=1,-1.
– Bases: \{(1,-2)\} para \lambda=1, \{(1,0)\} para \lambda=-1.
– Diagonalizável com \displaystyle P_4=[(1,-2)\;(1,0)],\;D_4=\operatorname{diag}(1,-1).