Exercício 6.8.2. Determinar autovalores e bases dos auto-espaços para os operadores em \mathbb{R}^{3} que possuem as seguintes matrizes representativas na base canônica
Nos casos em que seja possível, encontrar também uma base de autovetores e diagonalizar.
Passo 1
O enunciado pede para cada uma das três matrizes em \mathbb{R}^3:
– Determinar o polinômio característico e seus autovalores.
– Encontrar uma base de cada autoespaço, isto é, resolver (M-\lambda I)v=0.
– Quando possível, exibir uma base de autovetores completa e diagonalizar.
O conteúdo usado será o cálculo de determinantes para o polinômio característico e a resolução de sistemas lineares para obter as dimensões dos autoespaços.
Como B é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal: \lambda_1=1, \lambda_2=5, \lambda_3=7, todos de multiplicidade 1 e distintos. Logo B é diagonalizável.
Para \lambda=1 resolvemos
de onde x_3=0 e x_2=0, ficando x_1 livre. Assim o autoespaço tem dimensão 1, base \{(1,0,0)\}. Como a multiplicidade geométrica é menor que 3, C não é diagonalizável.
autovalores \lambda=1,5,7 (todos distintos), bases de autoespaços \{(1,0,0)\}, \{(1,4,0)\}, \{(-1,2,-4)\}. Base de autovetores completa e diagonalização D=\mathrm{diag}(1,5,7).