Exercício 6.8.4. Determinar autovalores e bases dos auto-espaços para o operador em \mathbb{R}^{3} que possui a seguinte matriz representativa na base canônica M=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 3 & -1 \\\\ 9 & 9 & -2\end{array}\right). Analisar a diagonalizabilidade do operador.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços do operador linear em \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
e analisar se o operador é diagonalizável. O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas lineares para cada autovalor e comparação entre multiplicidade algébrica e geométrica.
Passo 2
Para encontrar o polinômio característico, montamos
Assim, os autovalores são \lambda_1=0 com multiplicidade algébrica 1 e \lambda_2=1 com multiplicidade algébrica 2.]
Passo 3
Para \lambda=0\), resolvemos \(M x=0\), ou seja
\[\begin{cases} x_1+x_2=0,\\\\ 3x_1+3x_2-x_3=0,\\\\ 9x_1+9x_2-2x_3=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_2=-x_1\]. Substituindo na segunda obtém-se \(x_3=0, que satisfaz também a terceira. Logo o autoespaço associado a \lambda=0 é
A primeira linha dá x_2=0. A segunda dá 3x_1-x_3=0, ou seja x_3=3x_1, que satisfaz a terceira automaticamente. Assim
E_1=\{t(1,0,3)\mid t\in\mathbb{R}\},
com base \{(1,0,3)\}.
Passo 5
O autovalor \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2, mas o autoespaço E_1 tem dimensão 1 (geométrica menor que a algébrica). Portanto o operador não é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e bases dos autoespaços: \lambda=0, base \{(1,-1,0)\} \lambda=1, base \{(1,0,3)\}
O operador não é diagonalizável.