Exercício 6.8.5. Verificar que os operadores em
que possuem as seguintes matrizes representativas na base canônica
têm os mesmos autovalores mas diferentes auto-espaços.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes triangulares superiores em
,
e pede para verificar que elas têm os mesmos autovalores mas auto-espaços diferentes. Vamos usar álgebra linear básica: característico de matriz triangular, e resolução de
.
Passo 2
Como
e
são triangulares, o polinômio característico é
Logo os autovalores são
,
e
em ambos os casos, todos de multiplicidade algébrica
.
Passo 3
Determinar os auto-espaços de
:
Para
resolvemos
, ou seja
Da terceira linha vem
. Da segunda,
. Então
é livre e
Para
resolvemos
, ou seja
Da terceira linha
. Da primeira
. Logo
Para
resolvemos
, ou seja
Da segunda
. Da primeira
. Logo
Passo 4
Agora os auto-espaços de
:
Para
portanto
Para
logo
Para
portanto
Passo 5
Concluímos que ambos têm
como autovalores, mas por exemplo
Logo os auto-espaços são diferentes.
Resposta
Ambas as matrizes têm autovalores
, mas seus auto-espaços diferem, por exemplo em
: