Exercício 2. Determinar as coordenadas do polinômio p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por
p(t)=10+t^{2}+2 t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R}
em relação as seguintes bases do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) :
\mathcal{B}=\left\{q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\}, onde
q_{0}(t)=1, \quad q_{1}(t)=1+t, \quad q_{2}(t)=1+t+t^{2}, \quad q_{3}(t)=1+t+t^{2}+t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado quer as coordenadas do polinômio
p(t)=10+t^{2}+2t^{3}
no espaço vetorial \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) relativas à base \mathcal{B}=\{q_{0},q_{1},q_{2},q_{3}\}, onde
q_{0}(t)=1,\quad q_{1}(t)=1+t,\quad q_{2}(t)=1+t+t^{2},\quad q_{3}(t)=1+t+t^{2}+t^{3}.
O conteúdo é mudança de base: expressar p como combinação linear de q_{i}.

Passo 2

Suponha que existam escalares a_{0},a_{1},a_{2},a_{3} tais que
a_{0}q_{0}(t)+a_{1}q_{1}(t)+a_{2}q_{2}(t)+a_{3}q_{3}(t) = p(t).
Expandindo o lado esquerdo, obtemos
a_{0}q_{0}(t)+a_{1}q_{1}(t)+a_{2}q_{2}(t)+a_{3}q_{3}(t) =(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}) +(a_{1}+a_{2}+a_{3})\,t +(a_{2}+a_{3})\,t^{2} +a_{3}\,t^{3}.

Passo 3

Para que isso seja igual a
p(t)=10 + 0\cdot t + 1\cdot t^{2} + 2\cdot t^{3}
devemos ter o sistema
\begin{cases} a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=10,\\\ a_{1}+a_{2}+a_{3}=0,\\\ a_{2}+a_{3}=1,\\\ a_{3}=2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo de baixo para cima:
a_{3}=2,\quad a_{2}=1-a_{3}=1-2=-1,\quad a_{1}=0-(a_{2}+a_{3})=0-(-1+2)=-1,\quad a_{0}=10-(a_{1}+a_{2}+a_{3})=10-(-1-1+2)=10.

Resposta

As coordenadas de p em relação a \mathcal{B} são
(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})=(10,-1,-1,2).

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