Exercício 2. Determinar as coordenadas do polinômio p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por
p(t)=10+t^{2}+2 t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R}
em relação as seguintes bases do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) :
\mathcal{C}=\left\{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\right\}, onde
r_{0}(t)=4+t, \quad r_{1}(t)=2, \quad r_{2}(t)=2-t^{2}, \quad r_{3}(t)=t+t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de p(t)=10 + t^{2} + 2t^{3} no espaço vetorial \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) em relação à base \mathcal{C}=\{r_{0},r_{1},r_{2},r_{3}\}, onde
r_{0}(t)=4+t,\quad r_{1}(t)=2,\quad r_{2}(t)=2-t^{2},\quad r_{3}(t)=t+t^{3}.
O conteúdo aqui é coordenadas relativas a uma base: qualquer polinômio em \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) se escreve de modo único como combinação linear dos vetores da base, e basta igualar coeficientes dos monômios para achar os escalares.

Passo 2

Suponhamos que existam escalares c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} tais que
p(t)=c_{0}\,r_{0}(t)+c_{1}\,r_{1}(t)+c_{2}\,r_{2}(t)+c_{3}\,r_{3}(t).
Vamos expandir o lado direito em termos de 1,t,t^{2},t^{3}.

Passo 3

Usando a definição de cada r_{i}, obtemos
c_{0}(4+t)+c_{1}(2)+c_{2}(2 - t^{2})+c_{3}(t + t^{3}) \;=\; (4c_{0}+2c_{1}+2c_{2}) \;+\;(c_{0}+c_{3})\,t \;-\;c_{2}\,t^{2} \;+\;c_{3}\,t^{3}.

Passo 4

Igualamos isso ao polinômio alvo
p(t)=10 + 0\cdot t + 1\cdot t^{2} + 2\cdot t^{3}
e comparamos coeficientes em cada grau:
\begin{cases} 4c_{0}+2c_{1}+2c_{2}=10,\\\ c_{0}+c_{3}=0,\\\\ -\,c_{2}=1,\\\ c_{3}=2. \end{cases}
Da terceira equação vem c_{2}=-1. Da quarta, c_{3}=2. Substituindo em c_{0}+c_{3}=0 c_{0}+2=0, logo c_{0}=-2. Por fim, na primeira:
4(-2)+2c_{1}+2(-1)=10 \quad\Longrightarrow\quad -8+2c_{1}-2=10 \quad\Longrightarrow\quad 2c_{1}=20 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}=10.

Resposta

As coordenadas de p na base \mathcal{C} são
\bigl[c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\bigr] = \bigl[-2,\;10,\;-1,\;2\bigr].

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