Exercício 2. Determinar as coordenadas do polinômio p \in \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}), dado por
p(t)=10+t^{2}+2 t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R}
em relação as seguintes bases do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}),+, \cdot\right) : \mathcal{C}=\left\{r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\right\}, onde
r_{0}(t)=4+t, \quad r_{1}(t)=2, \quad r_{2}(t)=2-t^{2}, \quad r_{3}(t)=t+t^{3}, \text { para } t \in \mathbb{R} .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas de p(t)=10 + t^{2} + 2t^{3} no espaço vetorial \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) em relação à base \mathcal{C}=\{r_{0},r_{1},r_{2},r_{3}\}, onde
O conteúdo aqui é coordenadas relativas a uma base: qualquer polinômio em \mathscr{P}_{3}(\mathbb{R}) se escreve de modo único como combinação linear dos vetores da base, e basta igualar coeficientes dos monômios para achar os escalares.
Passo 2
Suponhamos que existam escalares c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} tais que