Exercício 1. Determinar as coordenadas do vetor u=(-1,8,5) \in \mathbb{R}^{3} em relação a cada uma das bases do espaço vetorial real ( \mathbb{R}^{3},+, \cdot ) abaixo:
\mathcal{C}=\{(1,2,1),(0,3,2),(1,1,4)\}).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor
u = (-1,8,5)
como combinação linear dos vetores da base
\mathcal{C} = \bigl\{(1,2,1),\,(0,3,2),\,(1,1,4)\bigr\}
ou seja, encontrar escalares a,b,c tais que
a\,(1,2,1) \;+\; b\,(0,3,2) \;+\; c\,(1,1,4) \;=\; u.
O conteúdo envolvido é coordenadas de um vetor em relação a uma base, o que se reduz a montar e resolver um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos o sistema
\begin{cases} a + 0\,b + c = -1,\\\\ 2a + 3\,b + c = 8,\\\ a + 2\,b + 4\,c = 5. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem
a = -1 - c.
Substituindo em
2a + 3b + c = 8 \quad\text{e}\quad a + 2b + 4c = 5,
obtemos dois novos relacionamentos entre b e c.

Passo 4

Fazendo a substituição em cada um:
2(-1-c) + 3b + c = 8 \;\implies\; 3b - c = 10,
\;(-1-c) + 2b + 4c = 5 \;\implies\; 2b + 3c = 6.
Esse é um sistema de duas equações em b,c:
\begin{cases} 3b - c = 10,\\\\ 2b + 3c = 6. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo, da primeira c = 3b - 10. Substituindo na segunda:
2b + 3(3b - 10) = 6 \;\implies\; 11b = 36 \;\implies\; b = \tfrac{36}{11},
c = 3\bigl(\tfrac{36}{11}\bigr) - 10 = \tfrac{108}{11} - \tfrac{110}{11} = -\tfrac{2}{11},
e então
a = -1 - c = -1 + \tfrac{2}{11} = -\tfrac{9}{11}.

Resposta

As coordenadas de u na base \mathcal{C} são
\bigl(a,b,c\bigr) = \Bigl(-\tfrac{9}{11},\,\tfrac{36}{11},\,-\tfrac{2}{11}\Bigr).

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