Exercício 3. Determinar as coordenadas do vetor A=\left(\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ -8 & 7\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) em relação as seguintes bases do espaço vetorial real ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ):
base canônica do espaço vetorial real ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor
A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\[6pt] -8 & 7\end{pmatrix}
no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) em relação à base canônica. O conteúdo usado será combinação linear de matrizes e definição de coordenadas em uma base.]

Passo 2

A base canônica de M_{2}(\mathbb{R}) é
B = \{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\},
onde
E_{11} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Qualquer matriz \displaystyle A\in M_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrita como
A = a\,E_{11} + b\,E_{12} + c\,E_{21} + d\,E_{22}.
Para nosso A, comparando entradas, temos
\begin{aligned} a &= 2,\\\ b &= 5,\\\ c &= -8,\\\ d &= 7. \end{aligned}

Passo 4

Esses coeficientes (a,b,c,d) são exatamente as coordenadas de A na base canônica B. Logo,
[A]_{B} = (2,\,5,\,-8,\,7).

Resposta

As coordenadas de A na base canônica de M_{2}(\mathbb{R}) são
(2,\,5,\,-8,\,7).

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