Questão 4. Sejam u_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right), u_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right).
(a) Verifique que u_{1} e u_{2} são ortonormais em \mathbb{R}^{3}.
(b) Encontre um vetor u_{3} \in \mathbb{R}^{3} tal que o conjunto \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\} forme uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
u_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr), \quad u_{2}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0\Bigr)
e pede (a) provar que são ortonormais (ou seja, \langle u_i,u_j\rangle=0 se i\neq j e \|u_i\|=1) e (b) encontrar um terceiro vetor u_3 de modo que \{u_1,u_2,u_3\} seja base ortonormal de \mathbb{R}^3. Vamos usar o produto escalar usual em \mathbb{R}^3 e, para achar u_3, o produto vetorial seguido de normalização.

Passo 2

Primeiro, verificamos norma e ortogonalidade de u_1 e u_2.
A norma de u_1 é
\|u_1\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}} =1.
A norma de u_2 é
\|u_2\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^2+0^2} =\sqrt{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}} =1.
O produto escalar entre eles é
\langle u_1,u_2\rangle =\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}} +\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) +\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot0 =0.
Logo u_1 e u_2 são ortogonais e cada um tem norma 1, isto é, são ortonormais.

Passo 3

Para achar u_3 ortogonal a ambos, calculamos o produto vetorial
v = u_1 \times u_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{1}{\sqrt{3}}\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{vmatrix} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Bigr).
Note que já usamos a=\tfrac{1}{\sqrt{3}} e b=\tfrac{1}{\sqrt{2}} para calcular os cofatores.

Passo 4

Verificamos que
\|v\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{4}{6}} =1,
logo v já é unitário. Como o produto vetorial é sempre ortogonal aos dois fatores, v é ortogonal a u_1 e a u_2. Portanto basta definir
u_3 = v = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Bigr).
Isso garante que \{u_1,u_2,u_3\} seja uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.

Resposta

O vetor que completa a base ortonormal é
u_3 = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Bigr).

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