Exercício 3. Determinar as coordenadas do vetor A=\left(\begin{array}{cc}2 & 5 \\\\ -8 & 7\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) em relação as seguintes bases do espaço vetorial real ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ):
\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 5 \\\\ -8 & 7\end{pmatrix}
como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B} = \Bigl\{B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}\Bigr\}\subset M_{2}(\mathbb{R}), onde
B_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; B_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; B_{3}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; B_{4}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
O conteúdo é encontrar coordenadas de A em relação a \mathcal{B} resolvendo um sistema para os coeficientes.

Passo 2

Suponha
A = c_{1}B_{1} + c_{2}B_{2} + c_{3}B_{3} + c_{4}B_{4}.
Então
c_{1}\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + c_{4}\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4} & c_{2}+c_{3}+c_{4}\\\ c_{3}+c_{4} & c_{4} \end{pmatrix}.
Igualando essa matriz a \begin{pmatrix}2&5\\\ -8&7\end{pmatrix} obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=2,\\\ c_{2}+c_{3}+c_{4}=5,\\\ c_{3}+c_{4}=-8,\\\ c_{4}=7. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo de baixo para cima:
c_{4}=7, \quad c_{3}+7=-8 \implies c_{3}=-15, \quad c_{2}-15+7=5 \implies c_{2}=13, \quad c_{1}+13-15+7=2 \implies c_{1}=-3.

Resposta

As coordenadas de A na base \mathcal{B} são
(-3,\;13,\;-15,\;7).

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