Exercício 4. Encontre uma base do espaço vetorial real ( M_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ) que contenha o conjunto
S=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\right\}

Passo 1

O espaço vetorial é M_{2}(\mathbb{R}), formado por todas as matrizes 2\times2 reais. Sabemos que \dim M_{2}(\mathbb{R})=4. O conjunto dado é
S=\Bigl\{A,\,B\Bigr\},
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Queremos estender S a uma base de dimensão 4, isto é, verificar que A e B são L.I. e escolher duas matrizes adicionais que mantenham a independência linear.]

Passo 2

Verificamos que A\) e \(B\) são independentes: suponha escalares \(x,y\) tais que \[x\,A + y\,B = 0.
Escrevendo
x\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+y & y \\[3pt]x & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix},
obtemos o sistema
\begin{cases} x+y = 0,\\\ y = 0,\\\ x = 0. \end{cases}
Daí x=0\] e \(y=0. Logo A e B são L.I.]

Passo 3

Para formar uma base precisamos de mais 4-2=2 matrizes. Uma escolha conveniente são as matrizes canônicas
E_{12} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{22} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificamos que \{A,B,E_{12},E_{22}\} é L.I. Seja
\alpha\,A + \beta\,B + \gamma\,E_{12} + \delta\,E_{22} = 0.
Em componentes:
\alpha+\beta = 0,\quad \beta+\gamma = 0,\quad \alpha = 0,\quad \delta = 0.
Daí \alpha=0, depois \beta=0, \gamma=0 e \delta=0. Assim o conjunto é L.I. Como tem 4 elementos em espaço de dimensão 4, ele forma uma base.

Resposta

Uma base de M_{2}(\mathbb{R}) que contém S é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \right\}.]

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