Exercício 6.
Determinar as coordenadas do vetor p \in \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), em relação à base \mathcal{B}=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right), onde
p(x)=x^{2}, \quad p_{1}(x)=1, \quad p_{2}(x)=2-x, \quad p_{3}(x)=2+x+x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do polinômio p(x)=x^2 em relação à base \mathcal{B}=\{p_{1},p_{2},p_{3}\} de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}), em que
p_{1}(x)=1,\quad p_{2}(x)=2-x,\quad p_{3}(x)=2+x+x^2.
Para isso, vamos escrever p como combinação linear de p_{1},p_{2},p_{3} e achar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)+c\,p_{3}(x)=p(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo, temos
a\,p_{1}(x)+b\,p_{2}(x)+c\,p_{3}(x) = a + b(2 - x) + c(2 + x + x^2)
= (a + 2b + 2c) \;+\;(-b + c)\,x\;+\;c\,x^2.

Passo 4

Igualando aos termos de p(x)=0 + 0\cdot x + 1\cdot x^2\), obtemos o sistema \[\begin{cases} c = 1,\\\\ -b + c = 0,\\\ a + 2b + 2c = 0. \end{cases}
Da primeira equação c=1\]. Substituindo na segunda, \(-b+1=0\Rightarrow b=1. Substituindo em a+2b+2c=0 vem a+2\cdot1+2\cdot1=0\Rightarrow a=-4.

Resposta

As coordenadas de p na base \mathcal{B} são \bigl(a,b,c\bigr)=(-4,1,1).

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