Questão 3. Considere a aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(2 x+y, y+z, x+2 z).
(a) Determine os autovalores de T.
(b) Para cada autovalor, encontre um autovetor associado.
(c) Verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z)=(2x+y,\;y+z,\;x+2z).
Para achar autovalores e autovetores, primeiro escrevemos a matriz de T na base canônica:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é autovalor/vetor: vamos calcular \det(A-\lambda I)=0, achar as raízes \lambda e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0. Por fim, verificamos se há três autovetores lineares independentes em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Montamos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)\,(1-\lambda)(2-\lambda)+1.
Expandindo,
(2-\lambda)^2(1-\lambda)+1 =-\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+5.
Logo o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=-\bigl(\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-5\bigr)
e as auterações obtêm-se de
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-5=0.

Passo 3

Esse cubo \displaystyle tem exatamente um autovalor real \lambda_1\approx2,758
e dois autovalores complexos conjugados \lambda_{2,3}\approx1{,}121\pm1{,}152\,i.
Em \mathbb{R} só há um valor próprio real, portanto não se obtêm três autovetores reais.

Passo 4

Para um autovalor genérico \lambda\), o sistema \((A-\lambda I)v=0\) dá: \[\begin{cases} (2-\lambda)x + y =0,\\\ (1-\lambda)y + z =0,\\\ x + (2-\lambda)z =0. \end{cases}
Da primeira equação y=(\lambda-2)x\], da segunda \(z=(\lambda-1)y=(\lambda-1)(\lambda-2)x. O terceiro se anula automaticamente porque \lambda satisfaz o polinômio característico.
Um autovetor associado a cada \lambda_i é, portanto,
v_i=\bigl(1,\;\lambda_i-2,\;(\lambda_i-1)(\lambda_i-2)\bigr)^T,
com i=1,2,3.

Passo 5

Em \mathbb{R}^3 só há um autovalor real, logo só um autovetor real não basta para diagonalizar.
Portanto, T não é diagonalizável em \mathbb{R}.
Em \mathbb{C}^3, como os três autovalores são distintos, haveria três autovetores independentes e T seria diagonalizável sobre \mathbb{C}.

Resposta

(a) Os autovalores são as raízes de
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-5=0,
isto é, \lambda_1\approx2{,}758 (real) e \lambda_{2,3}\approx1{,}121\pm1{,}152\,i.
(b) Um autovetor associado a cada \lambda_i é
v_i=\bigl(1,\;\lambda_i-2,\;(\lambda_i-1)(\lambda_i-2)\bigr)^T.
(c) Em \mathbb{R}^3 T não é diagonalizável (há só um valor próprio real). \
Em \mathbb{C}^3 sim, pois os três autovalores são distintos.

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