Questão 3. Considere a aplicação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(2 x+y, y+z, x+2 z).
(a) Determine os autovalores de T.
(b) Para cada autovalor, encontre um autovetor associado.
(c) Verifique se T é diagonalizável.
O conteúdo é autovalor/vetor: vamos calcular \det(A-\lambda I)=0, achar as raízes \lambda e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0. Por fim, verificamos se há três autovetores lineares independentes em \mathbb{R}^3.
Esse cubo\displaystyle tem exatamente um autovalor real \lambda_1\approx2,758
e dois autovalores complexos conjugados \lambda_{2,3}\approx1{,}121\pm1{,}152\,i.
Em \mathbb{R} só há um valor próprio real, portanto não se obtêm três autovetores reais.
Passo 4
Para um autovalor genérico \lambda\), o sistema \((A-\lambda I)v=0\) dá:
\[\begin{cases} (2-\lambda)x + y =0,\\\ (1-\lambda)y + z =0,\\\ x + (2-\lambda)z =0. \end{cases}
Da primeira equação y=(\lambda-2)x\], da segunda \(z=(\lambda-1)y=(\lambda-1)(\lambda-2)x. O terceiro se anula automaticamente porque \lambda satisfaz o polinômio característico.
Um autovetor associado a cada \lambda_i é, portanto,
Em \mathbb{R}^3 só há um autovalor real, logo só um autovetor real não basta para diagonalizar.
Portanto, T não é diagonalizável em \mathbb{R}.
Em \mathbb{C}^3, como os três autovalores são distintos, haveria três autovetores independentes e T seria diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Resposta
(a) Os autovalores são as raízes de
\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-5=0,
isto é, \lambda_1\approx2{,}758 (real) e \lambda_{2,3}\approx1{,}121\pm1{,}152\,i.
(b) Um autovetor associado a cada \lambda_i é