Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\sqrt{x-1} \leq \sqrt{x+2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
\sqrt{x-1} \leq \sqrt{x+2},
e fazer a representação gráfica.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Há duas raízes quadradas: \sqrt{x-1} e \sqrt{x+2}.
  • Cada raiz só está definida quando o radicando é não negativo:
    • \sqrt{x-1} exige x-1 \ge 0, ou seja x \ge 1.
    • \sqrt{x+2} exige x+2 \ge 0, ou seja x \ge -2.
  • Para que a desigualdade faça sentido (ambos os lados existirem como números reais), precisamos da interseção dessas condições: x \ge 1.
  • Pergunta principal: quais valores de x (nesta região onde as raízes existem) satisfazem a desigualdade?

Passo 2

Estratégia e justificativa do método que vamos usar:
  • Ambas as quantidades \sqrt{x-1} e \sqrt{x+2} são números reais não negativos sempre que estão definidas.
  • Para números reais não negativos a e b vale a equivalência lógica: a \le b \iff a^2 \le b^2. Ou seja, podemos elevar ao quadrado sem mudar a desigualdade (isso é seguro porque a função t\mapsto t^2 é crescente em [0,\infty)).
  • Portanto, após restringir ao domínio x\ge 1, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para transformar a desigualdade em algo algébrico simples.

Passo 3

Elevar ao quadrado e simplificar (mostrando cada passo):
  • Partimos de \sqrt{x-1} \leq \sqrt{x+2}.
  • Como ambos os lados são \ge 0 para x\ge 1, podemos elevar ao quadrado sem perigo: \bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^2 \le \bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^2.
  • Isso dá x-1 \le x+2.
  • Subtraindo x de ambos os lados obtemos -1 \le 2.
  • A desigualdade -1 \le 2 é uma identidade verdadeira e independe de x. Portanto, dentro do domínio onde as raízes existem, a desigualdade inicial é sempre satisfeita.

Passo 4

Conclusão lógica sobre o conjunto solução:
  • A desigualdade reduzida mostrou-se verdadeira para todo x do domínio permitido.
  • Como vimos no

Passo 5

  • Logo, todos os x com x \ge 1 satisfazem \sqrt{x-1} \le \sqrt{x+2}.
Observação sobre igualdade:
  • Se quisermos ver se existe algum x com igualdade exata, resolvemos \sqrt{x-1} = \sqrt{x+2}. Elevando ao quadrado isso daria x-1 = x+2, i.e. -1=2, impossível. Portanto não existe x que torne as duas raízes exatamente iguais; a desigualdade é estrita ( <) para todo x\ge 1. Mesmo assim, como a questão pede \le, o conjunto solução continua sendo todos os x\ge 1.

Passo 6

Como representar graficamente (passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a curva y=\sqrt{x-1}: só existe para x\ge 1, começa no ponto (1,0) e cresce lentamente (formato de raiz quadrada deslocada para a direita).
  • Trace a curva y=\sqrt{x+2}: existe para x\ge -2, começa no ponto (-2,0) e também cresce lentamente. Para comparação visual, note o valor em x=1: \sqrt{1-1}=0 e \sqrt{1+2}=\sqrt{3}\approx1{,}732.
  • Para x\ge 1 (a parte onde ambas as curvas existem), a curva y=\sqrt{x+2} fica sempre acima da curva y=\sqrt{x-1}. Não há interseção para x\ge 1. Assim, a região dos x que satisfazem a desigualdade é exatamente a reta a partir de x=1 para a direita.
  • Se quiser pontos para marcar: em x=2, \sqrt{2-1}=1 e \sqrt{2+2}=2; em x=5, \sqrt{5-1}=2 e \sqrt{5+2}=\sqrt{7}\approx2{,}646. Esses pontos ajudam a ver que sempre \sqrt{x-1}<\sqrt{x+2}.

Passo 7

Dica prática para a prova (truque rápido):
  • Sempre primeiro determine o domínio das raízes. Depois, se os dois lados forem não negativos no domínio, elevar ao quadrado geralmente simplifica muito a desigualdade. Cuidado se um dos lados puder ser negativo: aí elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas e seria necessário analisar sinais.

Resposta

[1,\infty)

Exercícios relacionados