Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
,
e fazer a representação gráfica.
e fazer a representação gráfica.
Informações dadas e observações imediatas:
- Há duas raízes quadradas:
e . - Cada raiz só está definida quando o radicando é não negativo:
-
exige , ou seja . -
exige , ou seja .
-
- Para que a desigualdade faça sentido (ambos os lados existirem como números reais), precisamos da interseção dessas condições:
. - Pergunta principal: quais valores de
(nesta região onde as raízes existem) satisfazem a desigualdade?
Passo 2
Estratégia e justificativa do método que vamos usar:
- Ambas as quantidades
e são números reais não negativos sempre que estão definidas. - Para números reais não negativos
e vale a equivalência lógica: . Ou seja, podemos elevar ao quadrado sem mudar a desigualdade (isso é seguro porque a função é crescente em ). - Portanto, após restringir ao domínio
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para transformar a desigualdade em algo algébrico simples.
Passo 3
Elevar ao quadrado e simplificar (mostrando cada passo):
- Partimos de
- Como ambos os lados são
para , podemos elevar ao quadrado sem perigo: - Isso dá
- Subtraindo
de ambos os lados obtemos - A desigualdade
é uma identidade verdadeira e independe de . Portanto, dentro do domínio onde as raízes existem, a desigualdade inicial é sempre satisfeita.
Passo 4
Conclusão lógica sobre o conjunto solução:
- A desigualdade reduzida mostrou-se verdadeira para todo
do domínio permitido. - Como vimos no
Passo 5
- Logo, todos os
com satisfazem .
Observação sobre igualdade:
- Se quisermos ver se existe algum
com igualdade exata, resolvemos . Elevando ao quadrado isso daria , i.e. , impossível. Portanto não existe que torne as duas raízes exatamente iguais; a desigualdade é estrita ( ) para todo . Mesmo assim, como a questão pede , o conjunto solução continua sendo todos os .
Passo 6
Como representar graficamente (passo a passo, para você desenhar rápido na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace a curva
: só existe para , começa no ponto e cresce lentamente (formato de raiz quadrada deslocada para a direita). - Trace a curva
: existe para , começa no ponto e também cresce lentamente. Para comparação visual, note o valor em : e . - Para
(a parte onde ambas as curvas existem), a curva fica sempre acima da curva . Não há interseção para . Assim, a região dos que satisfazem a desigualdade é exatamente a reta a partir de para a direita. - Se quiser pontos para marcar: em
, e ; em , e . Esses pontos ajudam a ver que sempre .
Passo 7
Dica prática para a prova (truque rápido):
- Sempre primeiro determine o domínio das raízes. Depois, se os dois lados forem não negativos no domínio, elevar ao quadrado geralmente simplifica muito a desigualdade. Cuidado se um dos lados puder ser negativo: aí elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas e seria necessário analisar sinais.