Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\sqrt{\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}}+5>0

Passo 1

O enunciado pede que eu determine todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
\sqrt{\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}}+5>0,
e que eu faça a representação gráfica (no eixo dos reais) da solução.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{x^{2}-4}{9-x^{2}}.
  • A desigualdade envolve uma raiz quadrada real \sqrt{\cdot} somada a 5.
  • Para a raiz quadrada ser um número real, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.
  • A fração \dfrac{x^{2}-4}{9-x^{2}} só está definida quando o denominador 9-x^{2} for diferente de zero (ou seja, x\neq\pm 3).

Passo 2

Primeiro ponto de didática: quando temos \sqrt{A}+5>0 com A real, note que a raiz quadrada real satisfaz \sqrt{A}\ge 0 sempre que \sqrt{A} está definida. Assim o menor valor possível de \sqrt{A}+5 é 0+5=5, que é estritamente maior que zero. Portanto, sempre que \sqrt{A} estiver definida (isto é, sempre que A\ge 0 e as outras condições de definição da expressão forem satisfeitas), a desigualdade \sqrt{A}+5>0 será automaticamente verdadeira.
Aplicando isso ao nosso problema: basta encontrar todos os x para os quais a expressão dentro da raiz está definida e não-negativa:
\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}\ge 0 \quad\text{e}\quad x\neq \pm 3.

Passo 3

Vou resolver a desigualdade racional
\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}\ge 0,
lembrando de excluir os pontos onde o denominador é zero ( x=\pm 3).
Explico o porquê: a condição de existência da raiz pede que o radicando seja \ge 0. Além disso, o radicando é uma fração, logo o denominador não pode ser zero. Quando o numerador for zero e o denominador não for zero, o radicando vale 0 e a raiz vale 0 — isso é permitido.

Passo 4

Fatoro numerador e denominador para facilitar o estudo de sinal:
x^{2}-4=(x-2)(x+2), \qquad 9-x^{2}=(3-x)(3+x).
Logo a desigualdade fica
\frac{(x-2)(x+2)}{(3-x)(3+x)}\ge 0, \qquad x\neq\pm 3.

Passo 5

Para resolver \dfrac{(x-2)(x+2)}{(3-x)(3+x)}\ge 0 uso o método do quadro de sinais (ou teste de pontos). Os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) são, em ordem crescente,
-3,\\\ -2,\\\ 2,\\\ 3.
Vou testar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos. Em cada intervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de cada fator; aqui vou apenas calcular o sinal da fração usando pontos-teste:
  • Intervalo (-\infty,-3). Tomo x=-4:
    x^{2}-4=12>0,\qquad 9-x^{2}=9-16=-7<0\quad\Rightarrow\quad\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}<0.
    Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz \ge 0).
  • Intervalo (-3,-2). Tomo x=-2{,}5:
    x^{2}-4=2{,}25>0,\qquad 9-x^{2}=9-6{,}25=2{,}75>0\quad\Rightarrow\quad\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}>0.
    Conclusão: positivo neste intervalo (satisfaz).
  • Intervalo (-2,2). Tomo x=0:
    x^{2}-4=-4<0,\qquad 9-x^{2}=9>0\quad\Rightarrow\quad\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}<0.
    Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz).
  • Intervalo (2,3). Tomo x=2{,}5:
    x^{2}-4=2{,}25>0,\qquad 9-x^{2}=2{,}75>0\quad\Rightarrow\quad\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}>0.
    Conclusão: positivo neste intervalo (satisfaz).
  • Intervalo (3,\infty). Tomo x=4:
    x^{2}-4=12>0,\qquad 9-x^{2}=9-16=-7<0\quad\Rightarrow\quad\frac{x^{2}-4}{9-x^{2}}<0.
    Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz).

Passo 6

Agora trato os pontos críticos (possíveis inclusive se a desigualdade é \ge 0):
  • Em x=\pm 2: o numerador x^{2}-4 zera e o denominador 9-x^{2} é 9-4=5\neq 0. Portanto nesses pontos a fração vale 0, o que satisfaz a desigualdade \ge 0. Além disso isso faz a raiz valer 0, e \sqrt{0}+5=5>0, então x=\pm 2 são válidos.
  • Em x=\pm 3: o denominador é zero, a fração não está definida e portanto a raiz também não está definida. Logo x=\pm 3 são excluídos da solução.
Juntando as informações dos intervalos testados e os pontos:
  • (-3,-2) entrou (positivo) e -2 entra (zero) → (-3,-2] é solução.
  • (2,3) entrou (positivo) e 2 entra (zero) → [2,3) é solução.
  • Os outros intervalos e os pontos \pm 3 não entram.

Passo 7

Conclusão final: o conjunto de todos os x reais que satisfazem a desigualdade é
(-3,-2]\cup[2,3).
Breve comentário de verificação: em qualquer ponto dessa união a expressão dentro da raiz é \ge 0, a raiz é real e \sqrt{\cdot}+5\ge 5>0, portanto a desigualdade original é verdadeira exatamente nesses x.

Passo 8

Representação no eixo real: marcar os pontos críticos -3,\\\ -2,\\\ 2,\\\ 3. Colocar círculo aberto em -3 e em 3 (excluídos), círculos fechados em -2 e 2 (incluídos), e sombrear o segmento entre -3 e -2 com -3 aberto e -2 fechado, e sombrear o segmento entre 2 e 3 com 2 fechado e 3 aberto.

Resposta

(-3,-2]\cup[2,3)

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