Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine todos os intervalos de números reais que satisfazem a desigualdade
e que eu faça a representação gráfica (no eixo dos reais) da solução.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz é
. - A desigualdade envolve uma raiz quadrada real
somada a . - Para a raiz quadrada ser um número real, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.
- A fração
só está definida quando o denominador for diferente de zero (ou seja, ).
Passo 2
Primeiro ponto de didática: quando temos
com
real, note que a raiz quadrada real satisfaz
sempre que
está definida. Assim o menor valor possível de
é
, que é estritamente maior que zero. Portanto, sempre que
estiver definida (isto é, sempre que
e as outras condições de definição da expressão forem satisfeitas), a desigualdade
será automaticamente verdadeira.
Aplicando isso ao nosso problema: basta encontrar todos os
para os quais a expressão dentro da raiz está definida e não-negativa:
Passo 3
Vou resolver a desigualdade racional
lembrando de excluir os pontos onde o denominador é zero (
).
Explico o porquê: a condição de existência da raiz pede que o radicando seja . Além disso, o radicando é uma fração, logo o denominador não pode ser zero. Quando o numerador for zero e o denominador não for zero, o radicando vale
e a raiz vale
— isso é permitido.
Explico o porquê: a condição de existência da raiz pede que o radicando seja
Passo 4
Fatoro numerador e denominador para facilitar o estudo de sinal:
Logo a desigualdade fica
Passo 5
Para resolver
uso o método do quadro de sinais (ou teste de pontos). Os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) são, em ordem crescente,
Vou testar o sinal da fração em cada intervalo determinado por esses pontos. Em cada intervalo escolho um ponto-teste e avalio o sinal de cada fator; aqui vou apenas calcular o sinal da fração usando pontos-teste:
-
Intervalo
. Tomo : Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz). -
Intervalo
. Tomo : Conclusão: positivo neste intervalo (satisfaz). -
Intervalo
. Tomo : Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz). -
Intervalo
. Tomo : Conclusão: positivo neste intervalo (satisfaz). -
Intervalo
. Tomo : Conclusão: negativo neste intervalo (não satisfaz).
Passo 6
Agora trato os pontos críticos (possíveis inclusive se a desigualdade é
):
-
Em
: o numerador zera e o denominador é . Portanto nesses pontos a fração vale , o que satisfaz a desigualdade . Além disso isso faz a raiz valer , e , então são válidos. -
Em
: o denominador é zero, a fração não está definida e portanto a raiz também não está definida. Logo são excluídos da solução.
Juntando as informações dos intervalos testados e os pontos:
-
entrou (positivo) e entra (zero) → é solução. -
entrou (positivo) e entra (zero) → é solução. - Os outros intervalos e os pontos
não entram.
Passo 7
Conclusão final: o conjunto de todos os
reais que satisfazem a desigualdade é
Breve comentário de verificação: em qualquer ponto dessa união a expressão dentro da raiz é
, a raiz é real e
, portanto a desigualdade original é verdadeira exatamente nesses
.
Passo 8
Representação no eixo real: marcar os pontos críticos
. Colocar círculo aberto em
e em
(excluídos), círculos fechados em
e
(incluídos), e sombrear o segmento entre
e
com
aberto e
fechado, e sombrear o segmento entre
e
com
fechado e
aberto.