Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\sqrt{x^{2}-3 x+12}>4

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações dá.
  • O enunciado pede determinar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade
\sqrt{x^{2}-3x+12} > 4.
  • Informação fornecida: a expressão dentro da raiz é x^{2}-3x+12.
  • Pergunta: encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a desigualdade e fazer a representação gráfica (linha numérica) desse conjunto.

Passo 2

Verificar o domínio da expressão com raiz quadrada.
  • Para \sqrt{\cdot} estar bem definida realmente precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, exigir
x^{2}-3x+12 \ge 0.
  • Calcular o discriminante da quadrática x^{2}-3x+12: \Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot12 = 9-48 = -39.
  • Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo, a função quadrática é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Logo o radicando satisfaz x^{2}-3x+12>0 para todo x, e portanto a raiz está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão do domínio: não há restrição extra — podemos trabalhar com todos os reais.

Passo 3

Justificar a manipulação algébrica: por que posso elevar ao quadrado?
  • A expressão \sqrt{x^{2}-3x+12} é sempre não negativa (por definição de raiz quadrada real) e o lado direito da desigualdade é 4>0.
  • Quando ambos os lados de uma desigualdade são não negativos, elevar ao quadrado preserva a relação estrita >. Ou seja, \sqrt{A}>4 equivale a A>16 sempre que A\ge0.
  • Portanto podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir soluções extranas.

Passo 4

Elevar ao quadrado e reduzir a desigualdade.
  • A desigualdade \sqrt{x^{2}-3x+12}>4 equivale a
x^{2}-3x+12 > 16.
  • Subtrair 16 dos dois lados:
x^{2}-3x+12-16 > 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3x-4 > 0.

Passo 5

Resolver a desigualdade quadrática x^{2}-3x-4>0 fatorando.
  • Tentar fatorar x^{2}-3x-4. Encontram-se raízes usando fatoração:
x^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1).
  • As raízes da equação associada x^{2}-3x-4=0 são x=4 e x=-1.

Passo 6

Analisar o sinal da quadrática para determinar onde é positiva.
  • Observação: o coeficiente de x^{2} é 1>0, ou seja a parábola abre para cima. Portanto a expressão (x-4)(x+1) é positiva fora das raízes e negativa entre as raízes.
  • Formalmente, a solução da desigualdade (x-4)(x+1)>0 é
    • x<-1 ou x>4.
  • Verificação rápida com pontos-teste:
    • Para x=0 (que está entre -1 e 4) temos 0^{2}-3\cdot0-4=-4<0 — não satisfaz.
    • Para x=5 temos 25-15-4=6>0 — satisfaz.
    • Para x=-2 temos 4+6-4=6>0 — satisfaz.

Passo 7

Relacionar com o domínio e excluir pontos de igualdade.
  • O domínio já era todo \mathbb{R}, então não perdemos soluções por aí.
  • A desigualdade original é estrita >, portanto devemos excluir os pontos onde ocorre igualdade: os valores x=-1 e x=4 satisfazem \sqrt{x^{2}-3x+12}=4 (pois tornam o radicando igual a 16). Esses pontos não entram na solução final.

Passo 8

Representação gráfica (linha numérica).
  • Na reta numérica marcar dois pontos com círculos abertos em \,-1 e 4 e sombrear todas as regiões à esquerda de -1 e à direita de 4.
  • Em texto, o conjunto solução é a união de dois intervalos: (-\infty,\,-1)\cup(4,\,+\infty).

Resposta

(-\infty,-1)\cup(4,\infty)

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