Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais informações dá.
- O enunciado pede determinar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade
- Informação fornecida: a expressão dentro da raiz é
. - Pergunta: encontrar o conjunto de todos os
que tornam verdadeira a desigualdade e fazer a representação gráfica (linha numérica) desse conjunto.
Passo 2
Verificar o domínio da expressão com raiz quadrada.
- Para
estar bem definida realmente precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero. Ou seja, exigir
- Calcular o discriminante da quadrática
: . - Como
e o coeficiente de é positivo, a função quadrática é sempre positiva para todo . Logo o radicando satisfaz para todo , e portanto a raiz está definida para todo . - Conclusão do domínio: não há restrição extra — podemos trabalhar com todos os reais.
Passo 3
Justificar a manipulação algébrica: por que posso elevar ao quadrado?
- A expressão
é sempre não negativa (por definição de raiz quadrada real) e o lado direito da desigualdade é . - Quando ambos os lados de uma desigualdade são não negativos, elevar ao quadrado preserva a relação estrita
. Ou seja, equivale a sempre que . - Portanto podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir soluções extranas.
Passo 4
Elevar ao quadrado e reduzir a desigualdade.
- A desigualdade
equivale a
- Subtrair
dos dois lados:
Passo 5
Resolver a desigualdade quadrática
fatorando.
- Tentar fatorar
. Encontram-se raízes usando fatoração:
- As raízes da equação associada
são e .
Passo 6
Analisar o sinal da quadrática para determinar onde é positiva.
- Observação: o coeficiente de
é , ou seja a parábola abre para cima. Portanto a expressão é positiva fora das raízes e negativa entre as raízes. - Formalmente, a solução da desigualdade
é -
ou .
-
- Verificação rápida com pontos-teste:
- Para
(que está entre e ) temos — não satisfaz. - Para
temos — satisfaz. - Para
temos — satisfaz.
- Para
Passo 7
Relacionar com o domínio e excluir pontos de igualdade.
- O domínio já era todo
, então não perdemos soluções por aí. - A desigualdade original é estrita
, portanto devemos excluir os pontos onde ocorre igualdade: os valores e satisfazem (pois tornam o radicando igual a ). Esses pontos não entram na solução final.
Passo 8
Representação gráfica (linha numérica).
- Na reta numérica marcar dois pontos com círculos abertos em
e e sombrear todas as regiões à esquerda de e à direita de . - Em texto, o conjunto solução é a união de dois intervalos:
.