Exercício 2 Determine o ângulo entre as retas y=3 x+11 e y=-2 x+7.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas
y = 3x + 11
e
y = -2x + 7
e pede o ângulo entre elas. Esse problema usa o conteúdo de geometria analítica: se duas retas têm coeficientes angulares m_1 e m_2, o ângulo \theta entre elas satisfaz uma relação trigonométrica.

Passo 2

Identificamos os coeficientes angulares de cada reta:
– Para y = 3x + 11, temos
m_1 = 3.
– Para y = -2x + 7, temos
m_2 = -2.

Passo 3

A fórmula que relaciona \theta a m_1 e m_2 é
\tan(\theta) = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|.
Ela vem da diferença de direções das retas no plano.

Passo 4

Substituindo m_1 = 3 e m_2 = -2 na fórmula, calculamos o numerador e o denominador:
\text{numerador} = |m_2 - m_1| = |-2 - 3| = 5,
\text{denominador} = 1 + m_1 m_2 = 1 + 3 \cdot (-2) = 1 - 6 = -5.
Logo
\tan(\theta) = \left|\frac{5}{-5}\right| = 1.

Passo 5

Como \tan(\theta)=1, temos
\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\\ \text{rad} = 45^\circ,
escolhendo o ângulo agudo entre as retas.

Resposta

O ângulo entre as retas é 45^\circ.

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