Exercício 4 Determine uma base e a dimensão dos espaços gerados pelos conjuntos de vetores abaixo.
S & =(1,2,-1,0),(2,5,-3,2),(2,4,-2,0),(3,8,-5,4) W & =(1,1,1),(1,2,3),(2,3,1)

Passo 1

O exercício dá os conjuntos de vetores
S = { (1,2,−1,0), (2,5,−3,2), (2,4,−2,0), (3,8,−5,4) } em ℝ⁴ e
W = { (1,1,1), (1,2,3), (2,3,1) } em ℝ³.
O conteúdo aqui é espaços gerados, base e dimensão, e vamos usar eliminação de Gauss para achar a quantidade de vetores independentes e extrair uma base.

Passo 2

Para S, montamos a matriz cujas linhas são os vetores de S e aplicamos eliminação de Gauss:
MS = 1 & 2 & -1 & 0 2 & 5 & -3 & 2 2 & 4 & -2 & 0 3 & 8 & -5 & 4
Fazendo
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 2R1, R4 R4 - 3R1 obtemos
1 & 2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & -2 & 4
Em seguida R4 R4 - 2R2
1 & 2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Só restaram 2 linhas não nulas, logo dim(Span(S)) = 2. Os pivôs estão nas linhas originais 1 e 2, então uma base é formada por
{(1,2,-1,0),,(2,5,-3,2)}.

Passo 3

Para W, fazemos a mesma coisa em ℝ³:
MW = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1
Aplicando
R2 R2 - R1 e R3 R3 - 2R1 temos
1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 1 & -1
Depois R3 R3 - R2 resulta em
1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -3
Aqui há 3 linhas não nulas, logo dim(Span(W)) = 3. Como não houve dependência, uma base é
{(1,1,1),,(1,2,3),,(2,3,1)}.

Resposta

Base de Span(S): {(1,2,-1,0), (2,5,-3,2)}, dimensão = 2; Base de Span(W): {(1,1,1), (1,2,3), (2,3,1)}, dimensão = 3.

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