Exercício 5 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pergunta se
é subespaço vetorial de
. Vamos usar a definição de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
pertence a
, pois sua primeira coordenada vale
. Assim
não é vazio.
Passo 3
Para testar fechamento sob adição, tomemos
isto é,
e
. Então
e como
, segue que
. Logo
é fechado sob soma.
Passo 4
Para testar fechamento sob multiplicação escalar, basta um contraexemplo. Seja
e tome o escalar
. Então
cuja primeira coordenada
não satisfaz
. Logo
.
Passo 5
Como
falha em ser fechado sob multiplicação escalar, ele não satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial.
Resposta
A afirmação é falsa.