Exercício 5 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
O conjunto S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; \quad x \geq 0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0\}
e pergunta se S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Vamos usar a definição de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo (0,0) pertence a S, pois sua primeira coordenada vale 0\ge0. Assim S não é vazio.

Passo 3

Para testar fechamento sob adição, tomemos
u=(x_1,y_1),\quad v=(x_2,y_2)\in S,
isto é, x_1\ge0 e x_2\ge0. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2),
e como x_1+x_2\ge0, segue que u+v\in S. Logo S é fechado sob soma.

Passo 4

Para testar fechamento sob multiplicação escalar, basta um contraexemplo. Seja
v = (1,0)\in S
e tome o escalar \alpha = -1. Então
\alpha v = (-1,0),
cuja primeira coordenada -1 não satisfaz \ge0. Logo \alpha v\notin S.

Passo 5

Como S falha em ser fechado sob multiplicação escalar, ele não satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados