Exercício 4 - Verifique se os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,-1) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,3) formam uma base do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,-1) e \overrightarrow{v_{2}}=(0,3) em \mathbb{R}^{2} e pede para verificar se formam uma base. O conteúdo necessário é teoria de base e independência linear em \mathbb{R}^{2}.
Passo 2
Em \mathbb{R}^{2}, um conjunto de dois vetores forma base se, e somente se, os vetores forem linearmente independentes, o que equivale a matriz formada por eles ter determinante diferente de zero.
Montamos a matriz cujas colunas são \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}
Passo 3
Calculamos o determinante de A\det(A) = 1\cdot3 - 0\cdot(-1) = 3
Como \det(A)=3\neq 0, concluímos que \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} são linearmente independentes e, por serem dois vetores em \mathbb{R}^{2}, formam uma base de \mathbb{R}^{2}.
Resposta
Sim, \{\overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}}\} forma uma base de \mathbb{R}^{2}.