Exercício 5 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
O vetor \vec{v}=(-2,4,-2) é autovetor do operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 x-y+z,-x+5 y-z, x-y+3 z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec v = (-2,4,-2) é autovetor do operador linear T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = (3x - y + z,\,-x + 5y - z,\,x - y + 3z).
Conteúdo: autovalor e autovetor. Para isso, precisamos checar se existe um \lambda tal que
T(\vec v) = \lambda\,\vec v\quad\text{com \(\vec v\neq\mathbf0\).}

Passo 2

Calcular T(\vec v). Primeiro, substituímos \vec v em T:
T(-2,4,-2) = \bigl(3(-2)-4+(-2),\,-(-2)+5\cdot4-(-2),\,-2-4+3(-2)\bigr) = (-12,24,-12)
Em seguida, observamos que
(-12,24,-12) = 6\,(-2,4,-2) = 6\,\vec v.

Passo 3

Como encontramos
T(\vec v) = 6\,\vec v,
existe o escalar \lambda = 6 que satisfaz a condição de autovetor. Portanto, \vec v é autovetor de T com autovalor 6.

Resposta

Verdadeira.

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