Exercício 5 - Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando cada resposta.
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores no espaço. Se \vec{u} \perp \vec{w} e \vec{v} \perp \vec{w}, então ( -3 \vec{u}+2 \vec{v} ) \perp \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e diz que \vec{u}\perp\vec{w} e \vec{v}\perp\vec{w}. Queremos decidir se a combinação linear -3\vec{u}+2\vec{v} também é ortogonal a \vec{w}. O conteúdo é ortogonalidade via produto escalar e vamos usar a propriedade de linearidade do produto interno.

Passo 2

Pela definição, \vec{u}\perp\vec{w} implica \vec{u}\cdot\vec{w}=0 e \vec{v}\perp\vec{w} implica \vec{v}\cdot\vec{w}=0. Então
(-3\vec{u}+2\vec{v})\cdot\vec{w} =-3\,(\vec{u}\cdot\vec{w})+2\,(\vec{v}\cdot\vec{w}) =-3\cdot0+2\cdot0 =0,
portanto -3\vec{u}+2\vec{v}\perp\vec{w}.

Resposta

Verdadeiro.

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