Resolva os itens abaixo.
Achar a equação geral do plano que contém as retas r_{1}:(x, y, z)=(1,-2,0)+t(2,3,-3), t \in \mathbb{R} e r_{2}: \frac{1-x}{4}=\frac{1-y}{6}=\frac{z+2}{6}.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r_{1}:\,(x,y,z)=(1,-2,0)+t\,(2,3,-3) \quad\text{e}\quad r_{2}:\frac{1-x}{4}=\frac{1-y}{6}=\frac{z+2}{6}.
O conteúdo é Geometria Analítica no espaço: para achar um plano precisamos de um vetor normal a ele. Vamos extrair vetores diretores das retas e um vetor que ligue um ponto de r_{1} a um ponto de r_{2}, e então usar produto vetorial para obter o normal.

Passo 2

Da reta r_{1} temos ponto
P=(1,-2,0)
e vetor diretor
\mathbf{v}_{1}=(2,3,-3).
Da reta r_{2}, escrevendo \frac{1-x}{4}=s
x=1-4s,\quad y=1-6s,\quad z=-2+6s,
então ponto
Q=(1,1,-2)
e vetor diretor
\mathbf{v}_{2}=(-4,-6,6).

Passo 3

Observamos que \mathbf{v}_{2}=-2\,\mathbf{v}_{1}, ou seja, as retas são paralelas mas não coincidentes (pois Q não está em r_{1}). Duas retas paralelas distintas determinam um plano único.

Passo 4

Escolhemos o vetor que liga P a Q:
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1,1,-2)-(1,-2,0)=(0,3,-2).

Passo 5

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{v}_{1}\times\overrightarrow{PQ} =(2,3,-3)\times(0,3,-2).
Calculando componente a componente:
\mathbf{n} =\bigl(3\cdot(-2)-(-3)\cdot3,\; -(2\cdot(-2)-(-3)\cdot0),\; 2\cdot3-3\cdot0\bigr) =(3,4,6).

Passo 6

A equação de um plano com normal \mathbf{n}=(3,4,6) passando por P=(1,-2,0) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0,
isto é,
3(x-1)+4(y+2)+6(z-0)=0
3x-3+4y+8+6z=0
3x+4y+6z+5=0.

Resposta

A equação geral do plano é
3x+4y+6z+5=0.

Exercícios relacionados