Resolva os itens abaixo.
Seja r a reta que passa pelo ponto P_{0}=(1,-1,2) e é ortogonal ao plano \pi de equação 2 x-3 y-5 z=10, encontre r \cap \pi.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P_{0}=(1,-1,2) e o plano \pi de equação
2x-3y-5z=10
e pede o ponto de interseção r\cap\pi, onde r é a reta que passa por P_{0} e é ortogonal a \pi. Para resolver, vamos usar que o vetor normal do plano serve de vetor diretor à reta ortogonal, montar sua forma paramétrica e impor a condição de pertença ao plano para achar o parâmetro.

Passo 2

O vetor normal de \pi é
\vec n=(2,\,-3,\,-5),
que será o vetor diretor \vec v da reta r. Logo, em coordenadas paramétricas:
x=1+2t,\quad y=-1-3t,\quad z=2-5t.

Passo 3

Para que o ponto (x,y,z) pertença a \pi, substituímos na equação do plano:
2(1+2t)-3(-1-3t)-5(2-5t)=10.
Calculando:
2+4t+3+9t-10+25t=10 \;\Longrightarrow\; 38t-5=10 \;\Longrightarrow\; t=\frac{15}{38}.

Passo 4

Agora substituímos t=\tfrac{15}{38} nas equações paramétricas:
x=1+\frac{30}{38}=\frac{68}{38}=\frac{34}{19},\quad y=-1-\frac{45}{38}=-\frac{83}{38},\quad z=2-\frac{75}{38}=\frac{1}{38}.

Resposta

\bigl(\tfrac{34}{19},\,-\tfrac{83}{38},\,\tfrac{1}{38}\bigr)

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