Exercício 3. Determine todos os números reais x que satisfazem:
x^{2}-x+10>16

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de segundo grau
x^{2}-x+10>16.
O conteúdo aqui é inequação polinomial de grau 2. Vamos primeiro colocar tudo num lado para identificar o polinômio e depois estudar onde ele é positivo.

Passo 2

Subtraindo 16 de ambos os lados, obtemos
x^{2}-x+10-16>0
ou seja
x^{2}-x-6>0.
Denotemos f(x)=x^{2}-x-6.

Passo 3

Para encontrar onde f(x)>0, precisamos das raízes de f(x)=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1\pm5}{2},
isto é
x_{1} = \frac{1-5}{2} = -2, \quad x_{2} = \frac{1+5}{2} = 3.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} em f(x) é positivo ( a=1>0), o gráfico de f é uma parábola voltada para cima. Numa parábola assim, f(x)>0 fora do intervalo entre as raízes. Portanto,
f(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x< -2 \quad\text{ou}\quad x>3.

Resposta

x< -2 ou x>3.

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