Exercício 5. Determine, caso existam, as soluçoẽs dos sistemas abaixo. Classifique os sistemas em compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível.
lx-y+2 z-w=0 3 x+y+3 z+w=0 x-y-z-5 w=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - y + 2z - w = 0, 3x + y + 3z + w = 0, x - y - z - 5w = 0,
com quatro incógnitas x,y,z,w e três equações. O conteúdo é resolução de sistemas por eliminação de Gauss e classificação pelo número de variáveis livres.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e aplicamos e :
O sistema escalonado é

Passo 3

Da terceira equação -3z - 4w = 0 vem
z = -tfrac43,w

Passo 4

Substituindo z na segunda equação 4y - 3z + 4w=0 obtemos
4y -3l(-tfrac43wr) +4w = 4y +4w +4w = 4y +8w = 0 ;Longrightarrow; y = -2,w

Passo 5

Finalmente, na primeira equação x - y +2z -w=0 substituímos y e z:
x -(-2w) +2l(-tfrac43wr)-w = x +2w -tfrac83w -w = x -tfrac53w =0 ;Longrightarrow; x = tfrac53,w

Passo 6

Escolhendo o parâmetro livre w=t, as soluções são
l(x,y,z,wr) =l(tfrac53t,,-2t,,-tfrac43t,,tr) (tinR)
Como há uma variável livre, o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e a solução geral é
(x,y,z,w)=l(tfrac53t,,-2t,,-tfrac43t,,tr), tinR

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