De fato, como os irracionais são densos, podemos pegar x irracional arbitrariamente próximo de x0, e aí f(x)=0. Logo não há de<a que garanta lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon para todos x em (x0-de<a,x0+de<a).
Concluímos que em todo racional x0 a condição de continuidade falha, ou seja, f é descontínua em cada número racional de (0,1).
Passo 3
Prova de que f é contínua em um irracional x0.
Aqui f(x0)=0. Dado varepsilon>0, escolha NinN tal que
1N<varepsilon
Os únicos pontos em que f(x)>=1/N são os racionais com denominador q<= N. Mas há apenas finitos tais racionais, e nenhum deles é x0. Logo podemos escolher de<a>0 de modo que o intervalo (x0-de<a,x0+de<a) não contenha nenhum racional com denominador q<= N. Então, para todo x em (x0-de<a,x0+de<a):
se x é irracional, f(x)=0 e lvert f(x)-0rvert=0<varepsilon;
se x=p/q racional, então q>N e lvert f(x)-0rvert =1q <=1N+1 <1N <varepsilon
Isso mostra que para esse de<a temos lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon sempre.
Concluímos que em todo irracional x0 a condição forallvarepsilon,existsde<a de continuidade é satisfeita, ou seja, f é contínua em cada irracional de (0,1).