• Problema 5.9. Seja a função de Dirichlet
Prove que:
  1. ;
  2. é contínua em todo irracional de .

Passo 1

O enunciado define a função de Thomae (ou “função de Dirichlet” ajustada)
f(x)= 0,&se xin(0,1)setminusQ, 1/q,&se x=p/qinQ em forma irredutível, í
e pede para mostrar que
  1. f é descontínua em todo racional de (0,1);
  2. f é contínua em todo irracional de (0,1).
    Vamos usar conceitos de limite, varepsilon de<a e densidade de racionais e irracionais.

Passo 2

Prova de que f é descontínua em um racional x0=p0/q0.
Nesse ponto temos
f(x0)=1q0>0
Escolha varepsilon=12q0. Para mostrar que f não é contínua em x0, basta ver que para qualquer de<a>0 existe x com lvert x-x0rvert<de<a mas
lvert f(x)-f(x0)rvert =llvert 0-1q0rrvert =1q0 >12q0=varepsilon
De fato, como os irracionais são densos, podemos pegar x irracional arbitrariamente próximo de x0, e aí f(x)=0. Logo não há de<a que garanta lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon para todos x em (x0-de<a,x0+de<a).
Concluímos que em todo racional x0 a condição de continuidade falha, ou seja, f é descontínua em cada número racional de (0,1).

Passo 3

Prova de que f é contínua em um irracional x0.
Aqui f(x0)=0. Dado varepsilon>0, escolha NinN tal que
1N<varepsilon
Os únicos pontos em que f(x)>=1/N são os racionais com denominador q<= N. Mas há apenas finitos tais racionais, e nenhum deles é x0. Logo podemos escolher de<a>0 de modo que o intervalo (x0-de<a,x0+de<a) não contenha nenhum racional com denominador q<= N. Então, para todo x em (x0-de<a,x0+de<a):
  • se x é irracional, f(x)=0 e lvert f(x)-0rvert=0<varepsilon;
  • se x=p/q racional, então q>N e lvert f(x)-0rvert =1q <=1N+1 <1N <varepsilon
Isso mostra que para esse de<a temos lvert f(x)-f(x0)rvert<varepsilon sempre.
Concluímos que em todo irracional x0 a condição forallvarepsilon,existsde<a de continuidade é satisfeita, ou seja, f é contínua em cada irracional de (0,1).

Resposta

  1. f é descontínua em todo racional de (0,1).
  2. f é contínua em todo irracional de (0,1).

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