- Problema 5.11. Seja
, e
. Defina o módulo de continuidade:
Mostre que
é contínua em
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado define o módulo de continuidade de
em
por
e depois
Queremos mostrar que
é contínua em
(isto é, satisfaz a definição
) se, e somente se,
.
Passo 2
(
) Suponha que
é contínua em
. Dada uma tolerância
, pela definição de continuidade existe
tal que
Isso significa que, para todo
com
, o valor
está limitado por
. Logo
Como isso vale para qualquer
, segue que
Passo 3
(
) Agora suponha que
. Então
o que significa que, dado
, existe
tal que
Pelo próprio significado de supremum, para todo
com
vale
Isso é exatamente a condição
, ou seja,
é contínua em
.
Resposta
Concluímos que
é contínua em
se, e somente se,
.