• Problema 5.11. Seja f: R R, c in R, e de<a>0. Defina o módulo de continuidade:
omegaf(c, de<a)=sup |f(x)-f(c)|: x in R,|x-c|<de<a, omegaf(c)=lim de<a 0^+ omegaf(c, de<a)
Mostre que f é contínua em c se, e somente se, omegaf(c)=0.

Passo 1

O enunciado define o módulo de continuidade de f em c por
omegaf(c,de<a)=supl|f(x)-f(c)| : xinR,,|x-c|<de<ar,
e depois
omegaf(c)=limde<ato0^+omegaf(c,de<a)
Queremos mostrar que f é contínua em c (isto é, satisfaz a definição forallvarepsilon>0;existsde<a>0:;|x-c|<de<aimplies|f(x)-f(c)|<varepsilon) se, e somente se, omegaf(c)=0.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que f é contínua em c. Dada uma tolerância varepsilon>0, pela definição de continuidade existe de<a>0 tal que
|x-c|<de<aimplies|f(x)-f(c)|<varepsilon
Isso significa que, para todo x com |x-c|<de<a, o valor |f(x)-f(c)| está limitado por varepsilon. Logo
omegaf(c,de<a) =supl|f(x)-f(c)|:|x-c|<de<ar <=varepsilon
Como isso vale para qualquer varepsilon>0, segue que
omegaf(c)=limde<ato0^+omegaf(c,de<a)=0

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que omegaf(c)=0. Então
limde<ato0^+omegaf(c,de<a)=0,
o que significa que, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
omegaf(c,de<a)<varepsilon
Pelo próprio significado de supremum, para todo x com |x-c|<de<a vale
|f(x)-f(c)|<=omegaf(c,de<a)<varepsilon
Isso é exatamente a condição forallvarepsilon>0;existsde<a>0:;|x-c|<de<aimplies|f(x)-f(c)|<varepsilon, ou seja, f é contínua em c.

Resposta

Concluímos que f é contínua em c se, e somente se, omegaf(c)=0.

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