A receita marginal para a venda de um produto pode ser modelada pela função dRdx=50-0,02x+100x+1, onde x é o número de unidades da demanda onde R(0)=0.
Determine a receita para uma demanda de 1500 unidades.

Passo 1

Temos a receita marginal dada por dRdx = 50 - 0,02x + 100x+1 e a condição inicial R(0)=0. Para descobrir a receita total R(x) a partir da receita marginal, precisamos integrar essa função em relação a x e depois aplicar a condição inicial. O conteúdo usado aqui é cálculo de antiderivadas de polinômios e de funções do tipo 1/(x+1).

Passo 2

Escrevemos a receita total como integral definida de 0 até x:
R(x) = integral0^xl(50 - 0,02,t + 100t+1r),dt

Passo 3

Calculamos as antiderivadas de cada termo:
integral 50,dt = 50t, integral (-0,02,t),dt = -0,01 t^2, integral 100t+1,dt = 100ln|t+1|
Portanto, em termo geral,
R(x) = 50x - 0,01x^2 + 100ln(x+1) + C

Passo 4

Usamos a condição R(0)=0:
0 = 50cdot0 - 0,01cdot0^2 + 100ln(1) + C = 0 + 0 + 0 + C,
logo C = 0.

Passo 5

Por fim, para x = 1500 temos:
R(1500) = 50cdot1500 - 0,01cdot1500^2 + 100ln(1501) = 75000 - 22500 + 100ln(1501) = 52500 + 100ln(1501) approx 53231,4

Resposta

R(1500) = 52500 + 100ln(1501) approx 53231,4

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