Exercício 1.8.4 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada uma das função abaixo.
h(x)=raizxx+1;

Passo 1

Vou resumir: a questão pede domínio e imagem da função h(x)=raizxx+1. O conteúdo aqui envolve domínio de funções com radicais e análise de desigualdades e depois levantamento de imagem via estudo de intervalo de uma função racional e da raiz quadrada.

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o radicando seja não negativo e que o denominador não se anule. Ou seja, devemos ter xx+1>=0 e x+1neq0. Daí partimos para resolver a desigualdade e excluir x=-1.

Passo 3

Resolvendo xx+1>=0: identificamos pontos críticos em x=-1 e x=0. Fazendo teste de sinal nos intervalos (-1,0), (0,infty) e (0,infty), vemos que a fração é positiva em x=0 e em x=-1; em vale zero e em é indefinida. Logo o domínio é .

Passo 4

Para a imagem, escrevemos y=h(x)=raizt com t=xx+1 e analisamos t nos mesmos intervalos do domínio. Em [0,infty), t vai de 0 (em x=0) a 1 (como limite quando xtoinfty), ficando em [0,1). Em t, xto-infty vai de 1 (limite para +infty) a xto-1^- (quando (1,infty)), ficando em h. Aplicando a raiz, a imagem de [0,1)cup(1,infty) é .

Resposta

Domínio: [0,1)cup(1,infty); Imagem: .

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