Exercício 1.8.4 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem de cada uma das função abaixo.
;
Passo 1
Vou resumir: a questão pede domínio e imagem da função
. O conteúdo aqui envolve domínio de funções com radicais e análise de desigualdades e depois levantamento de imagem via estudo de intervalo de uma função racional e da raiz quadrada.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos que o radicando seja não negativo e que o denominador não se anule. Ou seja, devemos ter
e
. Daí partimos para resolver a desigualdade e excluir
.
Passo 3
Resolvendo
: identificamos pontos críticos em
e
. Fazendo teste de sinal nos intervalos
,
e
, vemos que a fração é positiva em
e em
; em
vale zero e em
é indefinida. Logo o domínio é
.
Passo 4
Para a imagem, escrevemos
com
e analisamos
nos mesmos intervalos do domínio. Em
,
vai de 0 (em
) a 1 (como limite quando
), ficando em
. Em
,
vai de 1 (limite para
) a
(quando
), ficando em
. Aplicando a raiz, a imagem de
é
.
Resposta
Domínio:
; Imagem:
.