Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overline{M I}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MI} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Informações relevantes (peguei estes nomes e a disposição dos pontos na imagem enviada):
  • A malha na imagem é formada por paralelogramos dispostos em colunas e linhas regulares.
  • Na mesma coluna vertical (de baixo para cima) os pontos são, da linha de baixo para a de cima: A,K,B na coluna 0; F,L,E na coluna 1; H,M,G na coluna 2; J,N,I na coluna 3; D,P,C na coluna 4.
  • Na linha de baixo (linha 0) temos, da esquerda para a direita: A, F, H, J, D.
  • Na linha do meio (linha 1): K, L, M, N, P.
  • Na linha de cima (linha 2): B, E, G, I, C.

Passo 2

O que significa escrever um vetor em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})?
  • Significa achar escalares x e y tais que
\overrightarrow{MI}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
  • Aqui \overrightarrow{AF} é o vetor que vai de A para F (um passo para a direita na malha) e \overrightarrow{AB} é o vetor que vai de A para B (um passo para cima na malha).
  • Portanto as coordenadas serão os números x (quantos passos na direção \overrightarrow{AF}) e y (quantos passos na direção \overrightarrow{AB}).

Passo 3

Vamos estabelecer coordenadas de cada ponto em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}) tomando A como origem (posição nula). Isto é, representar cada ponto como
\text{posição do ponto} = a\,\overrightarrow{AF}+b\,\overrightarrow{AB}çã
onde a é o número de passos horizontais (para a direita) e b é o número de passos verticais (para cima) a partir de A. Pelos dados que peguei da imagem:
  • A = 0\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.
  • F = 1\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.
  • H = 2\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.
  • J = 3\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.
  • D = 4\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.
  • K = 0\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • L = 1\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • M = 2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • N = 3\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • P = 4\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • B = 0\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.
  • E = 1\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.
  • G = 2\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.
  • I = 3\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.
  • C = 4\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.

Passo 4

Agora escrevo as posições de M e I usando as expressões acima:
\text{posição}(M)=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}, \qquad \text{posição}(I)=3\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB}.çãçã
O vetor \overrightarrow{MI} é a diferença posição(I) − posição(M). Logo:
\overrightarrow{MI}=(3\,\overrightarrow{AF}+2\,\overrightarrow{AB})-(2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}).

Passo 5

Faço a subtração componente a componente:
\overrightarrow{MI}=(3-2)\,\overrightarrow{AF}+(2-1)\,\overrightarrow{AB}=1\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
Portanto, nas coordenadas da base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}) o vetor \overrightarrow{MI} tem componentes 1 e 1.

Resposta

(1,1)

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