Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M L}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M L} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações fornecidas (peguei estes pontos e a malha da figura da imagem):
  • Há uma malha regular de paralelogramos com três fileiras (linhas) e cinco colunas (colunas).
  • Os rótulos dos pontos na malha (da esquerda para a direita, de baixo para cima) fornecem uma grade inteira de pontos; dos quais retirei as coordenadas inteiras relativas à grade unitária:
    • Linha inferior: A=(0,0), F=(1,0), H=(2,0), J=(3,0), D=(4,0).
    • Linha do meio: K=(0,1), L=(1,1), M=(2,1), N=(3,1), P=(4,1).
    • Linha superior: B=(0,2), E=(1,2), G=(2,2), I=(3,2), C=(4,2).
  • A base pedida é \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
    O objetivo é achar os escalares (coordenadas) (\alpha,\beta) tais que
\overrightarrow{M L}=\alpha\,\overrightarrow{A F}+\beta\,\overrightarrow{A B}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): o que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base”?
  • Uma base de um plano formada por dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} significa que qualquer vetor \overrightarrow{w} do plano pode ser escrito de forma única como
\overrightarrow{w}=\alpha\,\overrightarrow{u}+\beta\,\overrightarrow{v},
onde \alpha e \beta são números reais. Esses números \alpha e \beta são as coordenadas de \overrightarrow{w} na base (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
  • No nosso caso, \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B}. Para encontrar \alpha e \beta basta escrever \overrightarrow{M L} em coordenadas da grade e resolver a igualdade vetorial.
  • Para facilitar as contas, posso usar como sistema de referência a grade inteira que identifiquei em Passo 1: cada passo horizontal de uma coluna corresponde a \overrightarrow{A F} e cada dois passos verticais correspondem a \overrightarrow{A B} (pois \overrightarrow{A B} vai de y=0 para y=2 na grade).

Passo 3

Achar as coordenadas “cartesianas” (na grade inteira) dos pontos envolvidos (peguei estes valores da imagem, listados no Passo 1):
  • M=(2,1).
  • L=(1,1).
    Logo o vetor \overrightarrow{M L} em coordenadas da grade é a diferença:
\overrightarrow{M L}=L-M=(1,1)-(2,1)=( -1,\,0 ).
Expliquei cada componente: a componente x é 1-2=-1 (movimento uma coluna para a esquerda) e a componente y é 1-1=0 (sem variação vertical).

Passo 4

Expressar \overrightarrow{M L}\) como combinação linear de \(\overrightarrow{A F}\) e \(\overrightarrow{A B}\). Primeiro escrevo as coordenadas desses vetores na mesma grade: - \(\overrightarrow{A F}\) vai de \(A=(0,0)\) a \(F=(1,0)\), logo \(\overrightarrow{A F}=(1,0)\). - \(\overrightarrow{A B}\) vai de \(A=(0,0)\) a \(B=(0,2)\), logo \(\overrightarrow{A B}=(0,2)\). Procuro \(\alpha,\beta\) tais que \[(-1,0)=\alpha\,(1,0)+\beta\,(0,2).
Escrevendo por componentes essa igualdade dá o sistema:
\begin{cases} -1=\alpha,\\[4pt] 0=2\beta. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=-1\]. Da segunda vem \(2\beta=0\Rightarrow\beta=0.]

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (estudo para a prova, mão na massa): o resultado \alpha=-1 e \beta=0 significa que \overrightarrow{M L} é exatamente -1 vez \overrightarrow{A F} (ou seja, um passo para a esquerda na grade) e não tem componente na direção \overrightarrow{A B}. Isso bate com a observação direta na figura: M e L estão na mesma linha horizontal da malha e L fica uma coluna à esquerda de M.

Resposta

\displaystyle (-1,\,0)

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