Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M N}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M N} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar números x,y tais que
Informações relevantes dadas (peguei estes pontos da imagem):
A malha da figura é formada pelos vetores geradores \overrightarrow{A F} (movimento para a direita na malha) e \overrightarrow{A B} (movimento para cima na malha).
Coordenadas inteiras relativas ao ponto A (em termos da base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B})):
A corresponde a (0,0).
F corresponde a (1,0).
H corresponde a (2,0).
J corresponde a (3,0).
D corresponde a (4,0).
Na linha do meio: K=(0,1),\;L=(1,1),\;M=(2,1),\;N=(3,1),\;P=(4,1).
No topo: B=(0,2),\;E=(1,2),\;G=(2,2),\;I=(3,2),\;C=(4,2).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática):
Dizer que um vetor V tem coordenadas (x,y) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) significa simplesmente que
V = x\,\overrightarrow{A F} + y\,\overrightarrow{A B}.
Se um ponto P da malha tem índices (i,j) (ou seja, P está i passos à direita e j passos para cima a partir de A), então
A primeira componente indica quantos passos na direção de \overrightarrow{A F} (para a direita); a segunda componente quantos passos na direção de \overrightarrow{A B} (para cima).
Aqui \overrightarrow{M N} dá exatamente um passo para a direita e nenhum para cima, por isso as coordenadas são (1,0).