Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M N}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M N} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar números x,y tais que
\overrightarrow{M N}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Informações relevantes dadas (peguei estes pontos da imagem):
  • A malha da figura é formada pelos vetores geradores \overrightarrow{A F} (movimento para a direita na malha) e \overrightarrow{A B} (movimento para cima na malha).
  • Coordenadas inteiras relativas ao ponto A (em termos da base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B})):
    • A corresponde a (0,0).
    • F corresponde a (1,0).
    • H corresponde a (2,0).
    • J corresponde a (3,0).
    • D corresponde a (4,0).
    • Na linha do meio: K=(0,1),\;L=(1,1),\;M=(2,1),\;N=(3,1),\;P=(4,1).
    • No topo: B=(0,2),\;E=(1,2),\;G=(2,2),\;I=(3,2),\;C=(4,2).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática):
  • Dizer que um vetor V tem coordenadas (x,y) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}) significa simplesmente que
V = x\,\overrightarrow{A F} + y\,\overrightarrow{A B}.
  • Se um ponto P da malha tem índices (i,j) (ou seja, P está i passos à direita e j passos para cima a partir de A), então
\overrightarrow{A P}=i\,\overrightarrow{A F}+j\,\overrightarrow{A B}.
  • Para obter o vetor entre dois pontos U e V usa-se a diferença dos vetores posição:
\overrightarrow{U V}=\overrightarrow{A V}-\overrightarrow{A U}.
Isso significa que, em coordenadas, basta subtrair componente a componente.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: ler na imagem as coordenadas de M e N (conforme listei no Passo 1).
  • Como M é o ponto da malha com índices (2,1), tem-se
\overrightarrow{A M}=2\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}.
  • Como N é o ponto da malha com índices (3,1), tem-se
\overrightarrow{A N}=3\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{M N} pela diferença:
\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}.
Substituindo as expressões anteriores:
\overrightarrow{M N}=(3\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B})-(2\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}).
Fazendo a subtração termo a termo (coeficientes de \overrightarrow{A F} e de \overrightarrow{A B}):
\overrightarrow{M N}=(3-2)\,\overrightarrow{A F}+(1-1)\,\overrightarrow{A B}=1\,\overrightarrow{A F}+0\,\overrightarrow{A B}.

Passo 5

Interpretação final (como usar isso numa prova):
  • A primeira componente indica quantos passos na direção de \overrightarrow{A F} (para a direita); a segunda componente quantos passos na direção de \overrightarrow{A B} (para cima).
  • Aqui \overrightarrow{M N} dá exatamente um passo para a direita e nenhum para cima, por isso as coordenadas são (1,0).

Resposta

(1,0)

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